Matemática, perguntado por alephvictorab, 4 meses atrás

Determine o volume do sólido contido abaixo do paraboloide z=x²+y² e acima da região D do plano xy, limitada pela reta y=x e pela parábola y=x²/2

A. 48/35

B. 36/35

C. −36/35

D. −48/35

Soluções para a tarefa

Respondido por Buckethead1

✅ Realizando a análise do domínio de integração e aplicando o teorema relativo às integrais iteradas, obtemos $\rm V = \dfrac{48}{35}\,u.v.$ .

☁️ Teorema de Fubini: Seja $\rm f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ e supondo que $\rm f = f(x,y)$ seja contínua ou com infinitas descontinuidades sobre uma reta, podemos então abstrair:

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \iint\limits_{\mathcal D} f(x,y)\,dA = \int\limits_{a}^{b}\!\int\limits_{p(x)}^{q(x)} f(x,y) \,dxdy = \int\limits_{c}^{d}\!\int\limits_{r(y)}^{s(y)} f(x,y) \,dydx \qquad}}}$

✍️ Solução: O volume abaixo de uma superfície é dado por dupla integração

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \iint\limits_{\mathcal D} x^2+y^2\,dA \end{array}$

Precisamos entender o domínio $\mathcal D$ de integração. Observe o esboço.

❏ Note que $\rm y = x$ é a função que não faz nada, e também a bissetriz dos quadrantes ímpares. Note também que $\rm \tfrac{1}{2}x^2$ é uma contração (fator ½) da parábola $\rm y = x^2$ .

❏ Vejamos onde as duas curvas se intersectam. Para isso igualamos as duas equações

$\large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{x^2}{2} = x \Rightarrow \\\\\rm x^2 = 2x \Rightarrow \\\\\rm x^2 - 2x = 0 \Rightarrow \\\\\rm x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x = 0 ~\lor~ x = 2 \\\\\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: intersecs = \{x~\mid~x = 0~\land~x = 2\} }}}\end{array}$

Sabendo onde as duas curvas se intersectam, podemos avaliar o domínio $\mathcal D$ .

ℹ️ Observe o roteiro:

A integral de fora que é a primeira analisada é a última a ser resolvida e ela varia a extremos constantes sempre;
A integral de dentro que é a primeira a ser resolvida varia a extremos dependentes de uma variável, isto é, entre funções de $\rm x$ ou $\rm y$ ;

❏ Nesse nosso caso, $\rm x$ pode variar a extremos constantes de 0 a 2 e dado um $\rm x$ genérico entre 0 e 2, o valor de y varia de parábola até a reta. Como faremos $\rm dydx$ , os extremos da integral de dentro devem ser escritos em função de x. Logo, a integral dupla que precisamos resolver é a seguinte:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \rm V = \int\limits_{0}^{2} \!\!\int\limits_{\tfrac{x^2}{2}}^{x}x^2 + y^2 \,dydx \end{array}$

Portanto:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \int\limits_{0}^{2} \!\!\int\limits_{\tfrac{x^2}{2}}^{x}x^2 + y^2 \,dydx &= \displaystyle\rm \int\limits_{0}^{2} \left. \left[x^2y + \frac{y^3}{3} \right] \right|_{\tfrac{x^2}{2}}^{x} \,dx \\\\ &= \displaystyle\rm \int\limits_{0}^{2}\left[ x^2 \cdot x + \frac{x^3}{3} - x^2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{x^2}{2}\right)^3\right] \,dx \\\\ &= \displaystyle\rm \int\limits_{0}^{2} \left[x^3 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{24} \right]\,dx \\\\ &= \displaystyle\rm \left.\left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^4}{12} - \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{168} \right]\right|_{0}^{2} \\\\ &= \displaystyle\rm\left[ \frac{2^4}{4} + \frac{2^4}{12} - \frac{2^5}{10} - \frac{2^7}{168} \right]\\\\ &= \displaystyle\rm \frac{48}{35}\,u.v. \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: \displaystyle\rm \int\limits_{0}^{2} \!\!\int\limits_{\tfrac{x^2}{2}}^{x}x^2 + y^2 \,dydx = \frac{48}{35}\,u.v. }}}}\\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array}$