Question

Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide Z = 3X² + y² e acima da região delimitada por y = x e x = ² - y .a Me ajudando a encontrar os limites de integração ja ajuda

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaysyle{\dfrac{144}{35}~~u.v}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos o volume do sólido abaixo do paraboloide definido por $z=3x^2+y^2$ e acima da região delimitada por $y=x$ e $x=y^2-y$, utilizaremos integrais duplas.

O volume de uma função definida por duas variáveis $f(x,~y)$ e o plano $xy$ é dada pela seguinte integral dupla:

$\displaystyle{\int\int_Df(x,~y)\,dA}$, tal que $D$ é a região delimitada pelas funções.

Observe o gráfico em anexo: Podemos ver que as funções no plano $xy$ são, respectivamente, uma reta e uma parábola com concavidade para a direita.

Lembre-se que, de acordo com o Teorema de Fubini para integrais iteradas, devemos respeitar uma ordem de integração, tal que a variável a ser integrada primeiro está limitada a duas funções, enquanto a última variável a ser integrada está limitada a dois valores numéricos.

Dessa forma, inverteremos a ordem de integração, de forma a evitar limites de integração trabalhosos. Faremos $dA=\,dx\,dy$.

Para definirmos os limites de integração, devemos igualar as funções. Veja que $y=x$, logo substituindo a variável $x$ na segunda função, teremos:

$y=y^2-y$

Subtraia $y$ em ambos os lados da equação

$y^2-2y=0$

Ao fatorarmos $y$ como fator comum em evidência, temos

$y\cdot(y-2)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo

$y=0~~~\mathtt{ou}~~~y-2=0$

Somando 2 em ambos os lados da segunda solução, teremos

$y=0~~~\mathtt{ou}~~~y=2$

Por fim, veja que ao invertermos a ordem de integração, o comportamento da função muda no intervalo. Ao considerarmos esta ordem, a região $D$ está definida pelos intervalos $y^2-y\leq x\leq y$ e $0\leq y\leq2$.

Substituindo $f(x,~y)=3x^2+y^2$ e estes limites de integração, temos

$\displaystyle{\int_0^2\int_{y^2-y}^y 3x^2+y^2\,dx\,dy$

Para calcularmos esta integral, lembre-se de algumas propriedades:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre constante e a integral da função, isto é: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplicando a propriedade da soma na integral interna, temos:

$\displaystyle{\int_0^2\left(\int_{y^2-y}^y 3x^2\,dx+\int_{y^2-y}^yy^2\,dx\right)\,dy$

Agora, aplique a propriedade da constante. Visto que estas integrais estão definidas para $x$, consideramos $y^2$ como uma constante, logo teremos:

$\displaystyle{\int_0^2\left(3\cdot\int_{y^2-y}^y x^2\,dx+y^2\cdot\int_{y^2-y}^y\,dx\right)\,dy$

Aplique a regra da potência, lembrando que $\displaystyle{\int \,dx=\int 1\,dx=\int x^0\,dx}$. Teremos:

$\displaystyle{\int_0^2\left(3\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_{y^2-y}^y+y^2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{y^2-y}^y\right)\,dy$

Some os valores e multiplique as frações

$\displaystyle{\int_0^2\left(x^3~\biggr|_{y^2-y}^y+y^2\cdot x ~\biggr|_{y^2-y}^y\right)\,dy$

De acordo com o Teorema fundamental do cálculo, a integral definida da função é dada por: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$. Assim, teremos:

$\displaystyle{\int_0^2y^3-(y^2-y)^3+y^2\cdot(y-(y^2-y)),dy$

Expanda os binômios e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_0^2y^3-(y^6-3y^5+3y^4-y^3)+y^2\cdot(2y-y^2)\,dy}\\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2y^3-y^6+3y^5-3y^4+y^3+2y^3-y^4\,dy$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_0^24y^3-y^6+3y^5-4y^4\,dy$

Calculando esta integral, teremos

$y^4-\dfrac{y^7}{7}+\dfrac{y^6}{2}-\dfrac{4x^5}{5}~\biggr|_0^2$

Aplicando os limites de integração, temos

$2^4-\dfrac{2^7}{7}+\dfrac{2^6}{2}-\dfrac{4\cdot 2^5}{5}-\left(0^4-\dfrac{0^7}{7}+\dfrac{0^6}{2}-\dfrac{4\cdot 0^5}{5}\right)$

Calculando as potências, temos

$16-\dfrac{128}{7}+32-\dfrac{128}{5}$

Some as frações

$\dfrac{48\cdot 35-128\cdot 5-128\cdot 7}{35}$

Multiplique e some os valores

$\dfrac{1680-680-896}{35}\\\\\\ \dfrac{144}{35}$

Este é o volume deste sólido.