Question

Determine o volume do prisma hexagonal regular de apótema da base 2✓3 m e altura 5m

Answer 1

Bom, vamos lá, para calcularmos o volume do prisma, usaremos a fórmula:

V = Ab x H
V = Ab x 5

Como já temos a altura do prisma, basta acharmos a área da base, que é um hexágono regular.

Por ser um hexágono regular, podemos o dividir em 6 triângulos equiláteros, e, com isso, podemos chegar a fórmula para calcular a área do hexagono

Ah = 6 x l²√ 3/4
Ah = 3l²√ 3/2

Agora, para continuar precisamos descobrir quanto mede o lado do hexágono, para isso, usaremos o valor da apótema, que o enunciado nos informa.

Sabe-se que a apótema da base parte do centro e corta o lado x do hexágono ao meio

Sabe-se também, que se desenhássemos uma circunferência circunscrita a esse hexágono, teríamos que o raio da circunferência seria igual ao lado x do hexágono (faça isso no papel para melhor compreensão)

Posto isso, podemos formar dentro de qualquer um dos 6 triângulos do hexágono um triângulo retângulo, de forma que um cateto mede 2√ 3, o outro mexe x/2 e a hipotenusa mede x

Logo, temos:

x² = (2√ 3)² + (x/2)²
x² = 12 + x²/4
4x² - x² = 48
x² = 16
x = 4

Agora, voltamos na fórmula da área do hexágono

Ah = 3l²√ 3/2
Ah = 3 x 4²√ 3/2
Ah = 24√ 3 cm²

Por fim, temos:

V = Ab x 5
V = 24√ 3 x 5
V = 120√ 3 cm³