Question

Determine o volume da pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 3√2 cm e a aresta lateral mede 5 cm

a) 12 cm³
b) 192 cm³
c) 48 cm³
d) 54 cm³
e) 24 cm³

Answer 1

O volume dessa pirâmide é de 24 m³.

*Perceba que as medidas na imagem estão em metros e na questão estão em centímetros!

Para calcular o volume dessa pirâmide, precisamos saber qual a altura da mesma, para isso, podemos usar o triângulo retângulo formado pela altura, metade da diagonal, e a aresta lateral.

Vamos incialmente encontrar a diagonal da base, pelo teorema de Pitágoras:

$d^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^{2}\\d^{2} = 2(3\sqrt{2})^{2}\\d^{2} = 2(3^{2} \cdot (\sqrt{2})^{2})\\d^{2} = 2(9\cdot 2)\\d^{2} = 2\cdot 18\\d^{2} = 36\\d = \sqrt{36}\\\\\underline{\overline{d = 6 ~\mathsf{m}}}$

Agora dividimos esse valor por 2, e aplicamos o Teorema de Pitágoras novamente para encontrar a altura da pirâmide:

$5^{2} = \left ( \dfrac{6}{2}\right)^{2} + h^{2}\\\\25 = 3^{2} + h^{2}\\9 + h^{2} = 25\\h^{2} = 25 - 9\\h^{2} = 16\\h = \sqrt{16}\\\\\underline{\overline{h = 4 ~\mathsf{m}}}$

Então podemos aplicar a relação do volume de uma pirâmide:

$v_p = \dfrac{a_b \cdot h}{3}\\\\\\a_b - \mathsf{\acute{a}rea ~da ~base}\\h - \mathsf{altura}$

Aplicando os dados da questão:

$v_p = \dfrac{(3\sqrt{2})^{2} \cdot 4}{3}\\\\v_p = \dfrac{3^{2}\cdot (\sqrt{2})^{2} \cdot 4}{3}\\\\v_p = \dfrac{9\cdot 2 \cdot 4}{3}\\\\v_p = \dfrac{72}{3}\\\\\\\boxed{\underline{\overline{v_p = 24~ \mathsf{m^3}}}}$

Veja mais sobre o volume de uma pirâmide:

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