Question

) Determine o volume da célula unitária e o raio atômico do ferro cuja densidade é de 7,90 g/cm3 e possui estrutura cristalina CCC e peso atômico de 55,85 g/mol

Answer 1

Fazendo os cálculos e usando a fórmula correta podemos concluir que o volume da célula unitária de ferro $\rm{2{,}35\times 10^{-2}~nm^3}$ é igual a e seu raio atômico será igual a 0,124 nm

O problema nos pede para determinar o volume de uma célula unitária e seu raio atômico do ferro e nos diz que a densidade do ferro é igual a 7,90 g/cm³ e que este material tem uma estrutura CCC, ou seja, uma estrutura estrutura cúbica de corpo centrado como última informação ele menciona o peso atômico do ferro, que seria 55,85 g/mol.

• Primeiro vamos calcular o volume da célula unitária, para calcular o volume você deve ter encontre o tipo de estrutura que ela tem, pois o ferro tem uma estrutura CCC vamos usar a fórmula:

$\rm{\bold{ V _{CCC} =\left(\dfrac{4 R}{\sqrt{3}}\right)^3}}\\\\ Simplificac_{\!\!,}\tilde{a}o: \rm{\bold{ V _{CCC} =\dfrac{64 R^3}{3\sqrt{3}}}}$

Onde:

• $\bold{V _ {CCC} }$: É o volume da célula unitária, o volume tem fórmulas diferentes dependendo de qual estrutura cristalina é falada (queremos encontrar isso).

• $\bold{R }$: É o raio atômico do elemento (também queremos encontrar isso).

Vemos que precisamos encontrar o raio atômico desse elemento, se não soubermos o raio atômico nunca saberemos o volume da célula unitária, então vamos calcular o raio atômico para isso usaremos o fórmula:

$\rm{\bold{ \rho =\dfrac{n\cdot A}{V _ {CCC} \cdot N _ A}}}$

Vemos que nesta fórmula o raio atômico não é uma variável mas sim o volume da célula unitária, então o que vamos fazer é substituir a expressão que calcula o volume dessa célula.

$\rm{\bold{ \rho =\dfrac{n\cdot A}{\dfrac{64 R^3}{3\sqrt{3}} \cdot N _ A}}}\\\\\rm{\bold{ \rho =\dfrac{n\cdot A\cdot 3\sqrt{3}}{64 R ^3\cdot N _ A}}}$

Onde:

• $\bold{\rho }$: É a densidade do elemento (já conhecemos essa variável).

• $\bold{n }$: É o número de átomos que a célula unitária possui na estrutura cristalina, é uma variável que muda de valor dependendo da estrutura cristalina que temos (o valor dessa constante para nossa célula unitária será igual a 2)

• $\bold{A }$: É o peso atômico do elemento, esse valor pode ser obtido em uma tabela periódica (já sabemos seu valor)

• $\bold{N _ A }$: É o número de Avogadro, este número é uma constante que nunca mudará seu valor (o número de Avogadro é igual a 6,022x10²³)

Se substituirmos o valor de todas as nossas variáveis, obteremos o valor do raio atômico.

$\rm{\bold{ 7{,}90 =\dfrac{2\cdot 55{,}85\cdot 3\sqrt{3}}{64 R ^3 \cdot 6{,}022\times 10^{23}}}}\\ \\ \rm{\bold{7{,}90=\dfrac{335{,}1\cdot \sqrt{3}}{64 R^3\cdot 6{,}022\times 10^{23}}}}\\ \\ \rm{\bold{7{,}90\cdot 6{,}022\times10^{23}\cdot 64 R ^3=580{,}41}}\\ \\ \rm{\bold{3{,}044\times 10^{26} R ^3=580{,}41}}$

Se despejamos a variável que estamos encontrando, obteremos que esta variável é igual à seguinte operação:

$\rm{\bold{R =\sqrt[3]{\dfrac{580{,}41}{3{,}044\times 10^{26}}}}}\\ \\ \rm{\bold{ R =\sqrt[3]{1.9067\times 10^{-24}}}}\\ \\ \green{\boxed{\rm{\bold{ R =1{,}24\times 10^{-8}cm}}}}\purple{ \Leftrightarrow} \green{\boxed{\rm{\bold{ R =0{,}124~ nm}}}}$

Agora que encontramos o raio atômico do elemento, vamos calcular o volume da célula unitária.

$\rm{\bold{ V _{CCC} =\dfrac{64(0{,}124)^3}{3\sqrt{3}}}}\\ \\ \rm{\bold{ V _ {CCC} =\dfrac{0{,}122}{3\sqrt{3}}}} \\ \\ \red{\boxed{\rm{\bold{V _ {CCC} \approx 2{,}35\times 10^{-2}~ nm^3}}}}$

Concluímos que o volume da célula unitária de ferro $\rm{2{,}35\times 10^{-2}~nm^3}$ e igual ao seu raio atômico será igual a 0,124 nm.

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Bons estudos! :D