Determine o vigésimo termo da PA (2,7,12,17,22,27)
Soluções para a tarefa
Olá! Seguem as respostas com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (2, 7, 12, 17, 22, 27, ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 2
b)vigésimo termo (a₂₀): ?
c)número de termos (n): 20 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do vigésimo termo, apenas pela observação dos quatro primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre decrescem) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
===========================================
(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 7 - 2 ⇒
r = 5
=======================================
(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o vigésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₀ = 2 + (20 - 1) . (5) ⇒
a₂₀ = 2 + (19) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₂₀ = 2 + 95 ⇒
a₂₀ = 97
Observação 2: Aplica-se na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, -x- ou +x+, resultam sempre em sinal de positivo.
Resposta: O 20º termo da P.A(2, 7, 12, 17, 22, 27, ...) é 97.
=======================================================
DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₀ = 97 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
97 = a₁ + (20 - 1) . (5) ⇒
97 = a₁ + (19) . (5) ⇒ (Reveja a Observação 2 acima.)
97 = a₁ + 95 ⇒
97 - 95 = a₁ ⇒
2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 2 (Provado que a₂₀ = 97.)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!
Resposta:
97
Explicação passo-a-passo:
a20 = a1 + 19r
a20 = 2 + 19.5
a20 = 2 + 95
a20 = 97