determine o vigésimo sétimo termo de P.A(-8,-3,2...)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (-8, -3, 2,...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -8
b)vigésimo sétimo termo (a₂₇): ?
c)número de termos (n): 27 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 27ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do vigésimo sétimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = -3 - (-8) ⇒
r = -3 + 8 ⇒
r = 5
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o vigésimo sétimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₇ = -8 + (27 - 1) . (5) ⇒
a₂₇ = -8 + (26) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₂₇ = -8 + 130 ⇒
a₂₇ = 122
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O 27º termo da P.A(-8, -3, 2, ...) é 122.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₇ = 122 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo sétimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
122 = a₁ + (27 - 1) . (5) ⇒
122 = a₁ + (26) . (5) ⇒
122 = a₁ + 130 ⇒ (Passa-se 130 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
122 - 130 = a₁ ⇒
-8 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = -8 (Provado que a₂₇ = 122.)
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