Question

Determine o vetor x que satisfaz cada equação vetorial abaixo​

Answer 1

Acompanhe com auxílio do desenho anexado à resolução.

Para resolvermos a equação, vamos achar as componentes do vetor M nos eixos "x" e "y", ou seja, a sua projeção nesses eixos.

Devido ao posicionamento do ângulo de 30° (entre o vetor e o eixo "y"), teremos:

$\boxed{\begin{array}{ccc}|M_x|~=~|M|\cdot sen(30^\circ)\\\\|M_y|~=~|M|\cdot cos(30^\circ)\end{array}}$

Substituindo o valor do módulo de M, dado no exercício, e os valores do seno e cosseno de 30°, temos:

$|M_x|~=~2\cdot sen(30^\circ)\\\\|M_x|~=~2\cdot \dfrac{1}{2}\\\\\boxed{|M_x|~=~1}\\\\\\|M_y|~=~2\cdot cos(30^\circ)\\\\|M_y|~=~2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\boxed{|M_y|~=~\sqrt{3}}$

Note ainda que o vetor N é paralelo ao eixo "x", ou seja, o vetor é igual a sua projeção neste eixo. Como consequência, teremos componente "y" nula (0).

$|N_x|~=~|N|\\\\\boxed{|N_x|~=~1}\\\\\\\boxed{|N_y|~=~0}$

Podemos agora passar para a equação vetorial.

Como estamos trabalhando com as componentes dos vetores, vamos separar a equação em duas, uma para a componente "x" dos vetores e outra para a componentes "y" dos vetores.

$Equacao~em~"x":\\\\4\cdot \left(5\cdot N_x~-~4\cdot M_x~+~X_x\right)~=~0\\\\\left(5\cdot 1~-~4\cdot 1~+~X_x\right)~=~\dfrac{0}{4}\\\\5~-~4~+~X_x~=~0\\\\\boxed{X_x~=\,-1}\\\\\\\\Equacao~em~"y":\\\\4\cdot \left(5\cdot N_y~-~4\cdot M_y~+~X_y\right)~=~0\\\\\left(5\cdot 0~-~4\cdot \sqrt{3}~+~X_y\right)~=~\dfrac{0}{4}\\\\0~-~4\sqrt{3}~+~X_y~=~0\\\\\boxed{X_y~=~4\sqrt{3}}$

Temos então que o vetor X é o vetor  $\sf\left(-1~,~4\sqrt{3}\,\right)$.

Podemos ainda determinar o vetor na sua forma polar, como foram dados M e N. Para isso, vamos precisar determinar o módulo do vetor e o seu ângulo (θ) em relação ao eixo "x".

Com auxílio do Teorema de Pitágoras, sabemos que o módulo d vetor será dado por:

$|\vec{X}|^2~=~X_x^{\,2}~+~X_y^{\,2}\\\\|\vec{X}|^2~=~(-1)^2~+~(4\sqrt{3})^2\\\\|\vec{X}|^2~=~1~+~16\cdot 3\\\\|\vec{X}|~=~\sqrt{49}\\\\\boxed{|\vec{X}|~=~7}$

Pela relação da tangente no triângulo retângulo formado pelo vetor X e suas componentes (Xx e Xy), podemos calcular o ângulo:

$tg(\theta)~=~\dfrac{Cateto~Oposto}{Cateto~Adjacente}\\\\\\tg(\theta)~=~\dfrac{4\sqrt{3}}{-1}\\\\\\\boxed{\theta~=~arctg(-4\sqrt{3})~~\approx~~98,2^\circ}$

Assim, o vetor X na sua forma polar fica:

$\boxed{\vec{X}~=~7\angle ~98,2^\circ}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$