Question

Determine o vetor u tal que u.v = u.w=1 e |u|=raiz 22 ,onde v=(1,1,0) e w =(2,1,-1)

Answer 1

Sejam $u=(x,y,z)$, então:

Condição I:

$(x, y, z)\cdot(1,1,0)=1\\x+y+0=1\\x+y=1\\y=1-x$

Condição II:

$(x,y,z)\cdot(2,1,-1)=1\\2x+y-z=1$

Condição III:

$u\cdot\,v=u\cdot\,w\\x+y=2x+y-z\\z=x$

Condição IV:

$|u|=\sqrt{22}\\\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{22}\\x^2+y^2+z^2=22$

 Substituindo I e III em IV, teremos:

$x^2+(1-x)^2+(x)^2=22\\x^2+1-2x+x^2+x^2=22\\3x^2-2x-21=0\\3x^2-9x+7x-21=0\\3x(x-3)+7(x-3)=0\\(x-3)(3x+7)=0$

 Quando x = 3, temos que $\boxed{u=(3, -2,3)}$.

Quando x = - 7/3, temos que $\boxed{u=(-7/3,10/3,-7/3)}$.