Question

Determine o vetor gradiente da função f(x,y)= x.y^2+ e^x.y no ponto P(1,1)"

Answer 1

$f_{x} =y^2+ye^{xy} => f_{x}(1,1)=3,72$

$f_{y} =2xy+xe^{xy} => f_{y} (1,1)=4,72$

▼$f(x,y)=3,72i+4,72j$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(1, 1) = (3,72,\,4,72)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} f(x, y) = xy^{2} + e^{xy}\\P(1, 1)\end{cases}$

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (y^{2} + ye^{xy}) \,\vec{i} + (2xy + xe^{xy})\,\vec{j}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2) = (1^{2} + 1\cdot e^{1\cdot1})\,\vec{i} + (2\cdot1\cdot1 + 1\cdot e^{1\cdot1})\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1 + e)\,\vec{i} + (2 + e)\,\vec{j}\end{gathered}$

         Se e = 2,72, então, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 1) = (1 + 2,72)\,\vec{i} + (2 + 2,72)\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3,72\,\vec{i} + 4,72\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (3,72,\,4,72)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 1) = (3,72,\,4,72)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

   

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