Determine o valores das constantes “c” e “k” que tornam a função f, definida abaixo,
contínua em (−∞, +∞)
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Soluções para a tarefa
Descobrimos que as constantes são é
ao utilizar conceitos de função contínua e de sistemas lineares.
segundo o matemático Cauchy (que introduziu e definiu o conceito de continuidade):
"... será chamado de função contínua, se ... os valores numéricos da diferença
diminuem arbitrariamente, conforme
varie ... "
(citação do livro Cours d'Analysis traduzida para o português )
isso significa que toda vez que a gente der um "zoom" e pegar um intervalo pequeno em torno de de tamanho
com
diminuindo,
deve diminuir também ou, do contrário, não será contínua.
Seja então a função definida por
Para precisamos que
para que seja contínua neste ponto.
isto significa que quando
é portanto
Por outro lado, em torno do ponto teremos
Temos então duas equações distintas e queremos descobrir quem são as duas incógnitas
podemos então escrever o seguinte sistema linear para obter o valor das incógnitas é
:
Resolvendo o sistema...
Podemos agora determinar que
E da equação temos
Entao as constantes procuradas são é
Podemos verificar que estas constantes tornam a função contínua ao jogar estes valores de é
na função original.
Para temos
é para
temos
Portanto vemos que a função é contínua.