Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 1 ano atrás

Determine o valores das constantes “c” e “k” que tornam a função f, definida abaixo,

contínua em (−∞, +∞)​

Anexos:

thneto30: 3;1

Soluções para a tarefa

Respondido por jplivrosng
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Descobrimos que as constantes são  c=-3 é  k=4 ao utilizar conceitos de função contínua e de sistemas lineares.

segundo o matemático Cauchy (que introduziu e definiu o conceito de continuidade):

"...  f(x) será chamado de função contínua, se ... os valores numéricos da diferença  f(x+\alpha )-f(x) diminuem arbitrariamente, conforme \alpha varie ... "

(citação do livro Cours d'Analysis traduzida para o português )

isso significa que toda vez que a gente der um "zoom" e pegar um intervalo pequeno em torno de x de tamanho  \alpha com  \alpha diminuindo,  f(x) deve diminuir também ou, do contrário, não será contínua.

Seja então a função definida por

 f(x) =\begin{Bmatrix} x, & x\leq1\\cx+k, & 1< x <4\\-2x, & 4\leq x\end{matrix}

Para  x=1 precisamos que  f(1+\alpha)-f(1) \rightarrow 0 para que seja contínua neste ponto.

isto significa que  x=cx+k quando  x=1 é portanto  1=c+k

Por outro lado, em torno do ponto  x=4 teremos

 cx+k=-2x \\c\times4+k=-2\times4\\4c+k=-8

Temos então duas equações distintas e queremos descobrir quem são as duas incógnitas

podemos então escrever o seguinte sistema linear para obter o valor das incógnitas  c é  k :

 \begin{Bmatrix} c&+k&=1\\4c&+k&=-8\end{matrix}

Resolvendo o sistema...

 \begin{Bmatrix} c&amp;+k&amp;=1\\4c&amp;+k&amp;=-8\end{matrix}\\\\\\</p><p> \begin{Bmatrix} c&amp;+k&amp;=1\\-4c&amp;-k&amp;=8\end{matrix}\\\\\\</p><p> \begin{Bmatrix} c&amp;+k&amp;=1\\-3c&amp;+0&amp;=9\end{matrix}\\\\\\

Podemos agora determinar que  c=-\frac{9}{3}=-3

E da equação  c+k=1 temos  k=1-c=1-(-3)=1+3=4

Entao as constantes procuradas são  c=-3 é  k=4

Podemos verificar que estas constantes tornam a função contínua ao jogar estes valores de  c é  k na função original.

 f(x) =\begin{Bmatrix} x, &amp; x\leq1\\-3x+4, &amp; 1&lt; x &lt;4\\-2x, &amp; 4\leq x\end{matrix}

Para  x=1 temos  - 3+4=1 é para  x=4 temos  - 3\times4+4=-8

Portanto vemos que a função é contínua.

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