Question

Determine o valor de y sabendo que y = cos x + tg x, sen x = -0,7 e x ∈ QIII.

Answer 1

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Sabendo que  sen x = – 0,7,  e  x  é um arco do  QIII  (3º  quadrante),  calcular  y = cos x + tg x.

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•   Calculando  cos x:

     $\mathsf{sen\,x=-0,\!7}\\\\ \mathsf{sen\,x=-\,\dfrac{7}{10}}\\\\\\ \mathsf{10\,sen\,x=-\,7}$


Eleve os dois lados ao quadrado:

     $\mathsf{(10\,sen\,x)^2=(-\,7)^2}\\\\ \mathsf{100\,sen^2\,x=49}$


Mas  sen² x = 1 – cos² x.  Então, ficamos com

     $\mathsf{100\cdot (1-cos^2\,x)=49}\\\\ \mathsf{100-100\,cos^2\,x=49}\\\\ \mathsf{100-49=100\,cos^2\,x}\\\\ \mathsf{51=100\,cos^2\,x}\\\\ \mathsf{cos^2\,x=\dfrac{51}{100}}$


Tomando as raízes quadradas dos dois lados,

     $\mathsf{cos\,x=\pm\,\sqrt{\dfrac{51}{100}}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=\pm\,\dfrac{\sqrt{51}}{10}}$


Mas como  x  é um arco do  3º  quadrante, então  cos x  é negativo:

     $\mathsf{cos\,x=-\,\dfrac{\sqrt{51}}{10}}$          ✔


•   Calculando  tg x:

     $\mathsf{tg\,x=\dfrac{sen\,x}{cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{tg\,x=\dfrac{-\,\frac{7}{10}}{~-\frac{\sqrt{51}}{10}~}}\\\\\\ \mathsf{tg\,x=-\,\dfrac{7}{\diagup\!\!\!\!\! 10}\cdot \bigg(\!\!-\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! 10}{\sqrt{51}}\bigg)}$

     $\mathsf{tg\,x=\dfrac{7}{\sqrt{51}}}$          ✔

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Portanto, o valor de  y  é

     $\mathsf{y=cos\,x+tg\,x}\\\\ \mathsf{y=-\,\dfrac{\sqrt{51}}{10}+\dfrac{7}{\sqrt{51}}}$


Reduzindo as frações ao mesmo denominador comum,

     $\mathsf{y=-\,\dfrac{\sqrt{51}\cdot \sqrt{51}}{10\sqrt{51}}+\dfrac{7\cdot 10}{10\sqrt{51}}}\\\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{51}{10\sqrt{51}}+\dfrac{70}{10\sqrt{51}}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{-51+70}{10\sqrt{51}}}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{y=\dfrac{19}{10\sqrt{51}}}\end{array}}$   <————    esta é a resposta.

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Caso prefira, você pode racionalizar o denominador, mas não é necessário:

     $\mathsf{y=\dfrac{19\cdot \sqrt{51}}{10\sqrt{51}\cdot \sqrt{51}}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{19\sqrt{51}}{10\cdot 51}}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{y=\dfrac{19\sqrt{51}}{510}}\end{array}}$   <————   novamente, esta é a resposta.


Bons estudos! :-)