Question

Dúvida em polinômios. Alguém poderia me ajudar ? a) Se x² - 1 = Q(x)(x - 1) então qual o valor de Q(1)? R:2 b) Se x³ - 8 = Q(x)(x - 2) então qual o valor de Q(2)? R:12

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~Q(1)=2~|~b)~Q(2)=12}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas propriedades de polinômios. Trataremos de cada uma separadamente.

a) Se $x^2-1=Q(x)\cdot(x-1)$  , qual o valor de $Q(1)$ ?

Observe que $x^2-1$ é resultado de $(x + 1)\cdot(x - 1)$, conhecido como produto da soma pela diferença.

Isto significa que podemos reescrever:

$(x+1)\cdot(x-1)=Q(x)\cdot(x-1)$

Vemos que $(x-1)$ é um fator comum em ambos os lados da equação, logo:

$Q(x)=x+1$

Substituindo o valor $x=1$, teremos

$Q(1)=1+1$

Some os valores

$Q(1)=2$

b) Se $x^3-8=Q(x)\cdot(x-2)$, qual o valor de $Q(2)$ ?

Neste caso, existem duas formas de resolver este problema. Podemos utilizar o algoritmo prático de Briot-Ruffini para encontrar $Q(x)$ a partir da divisão de polinômios ou sabendo que $8=2^3$, utilizar a propriedade:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Ficaremos com:

$(x-2)\cdot(x^2+2x+4)=Q(x)\cdot(x-2)$

Como podemos ver, $(x-2)$ é um fator comum a ambos os lados da equação, logo

$Q(x)=x^2+2x+4$

Substituindo o valor $x=2$, teremos

$Q(2)=2^2+2\cdot2 + 4$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$Q(2)=4+4+4\\\\\\ Q(2)=12$

Estes são os valores que procurávamos.