Question

Determine o valor de "y" para que o vetor u=(−1,y,−7) seja "combinação linear" dos vetores u1=(1,-3,2) e u2=(2,4,−1).

Answer 1

Se o vetor $\mathsf{\overset{\to}{u}}$ é combinação linear dos vetores $\mathsf{\overset{\to}{u}\!\,_1}$ e $\mathsf{\overset{\to}{u}\!\,_2,}$ então existem escalares α₁, α₂ ∈ ℝ, tais que

     $\mathsf{\alpha_1\overset{\to}{u}\!\,_1+\alpha_2\overset{\to}{u}\!\,_2=\overset{\to}{u}}\\\\ \mathsf{\alpha_1(1,\,-3,\,2)+\alpha_2(2,\,4,\,-1)=(-1,\,y,\,-7)}\\\\ \mathsf{(\alpha_1,\,-3\alpha_1,\,2\alpha_1)+(2\alpha_2,\,4\alpha_2,\,-\alpha_2)=(-1,\,y,\,-7)}\\\\ \mathsf{(\alpha_1+2\alpha_2,~-3\alpha_1+4\alpha_2,~2\alpha_1-\alpha_2)=(-1,\,y,\,-7)}$


Dois vetores são iguais somente se suas coordenadas correspondentes forem iguais entre si. Então, obtemos o seguinte sistema:

     $\left\{ \begin{array}{rcrcrc} \mathsf{\alpha_1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-1}&\qquad\mathsf{(i)}\\ \mathsf{-3\alpha_1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{4\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{y}&\qquad\mathsf{(ii)}\\ \mathsf{2\alpha_1}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-7}&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array} \right.$


Isole α₁ na equação (i) e substitua na equação (iii):

     $\mathsf{\alpha_1=-1-2\alpha_2}\\\\\\ \mathsf{2(-1-2\alpha_2)-\alpha_2=-7}\\\\ \mathsf{-2-4\alpha_2-\alpha_2=-7}\\\\ \mathsf{-4\alpha_2-\alpha_2=-7+2}\\\\ \mathsf{-5\alpha_2=-5}\\\\ \mathsf{\alpha_2=\dfrac{-5}{-5}}$

     $\mathsf{\alpha_2=1}$        ✔


Agora, substituímos para encontrar α₁:

     $\mathsf{\alpha_1=-1-2\alpha_2}\\\\ \mathsf{\alpha_1=-1-2\cdot 1}\\\\ \mathsf{\alpha_1=-1-2}$

     $\mathsf{\alpha_1=-3}$        ✔


Agora, substitua na equação (ii) os valores de α₁ e α₂ para encontrar o valor de y:

     $\mathsf{-3\alpha_1+4\alpha_2=y}\\\\ \mathsf{-3\cdot (-3)+4\cdot 1=y}\\\\ \mathsf{9+4=y}$

     $\mathsf{y=13\quad\longleftarrow\quad resposta.}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)