Matemática, perguntado por mate99, 6 meses atrás

Determine o valor de x na igualdade.

A) x = 8

B) x = 4

C) x = 16

D) x = 2

respondam por favor

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

O valor de x na igualdade apresentada se situa na alternativa a) x = 8.

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Desejamos encontrar o valor de x na equação exponencial abaixo

$\LARGE\qquad\boldsymbol{\begin{array}{l}\sqrt[\sf16]{\sf2^8\,}=\sqrt[\sf x]{\sf2^4\,}\end{array}}$

, para isso vamos usar nossos conhecimentos sobre potenciação e radiciação. Ora, sendo radiciação a operação inversa da potenciação, então podemos transformar um radical numa potência, veja a propriedade:

$\\\Large\begin{array}{l}\bullet~~~\sqrt[\sf z]{\sf x\:\!^y\,}\sf=x\:\!^{y/z}\end{array}\\\\$

Mas antes, vamos simplificar o primeiro radical, dividindo o índice e o expoente por um mesmo número, e por conseguinte aplicar a propriedade citada acima deixando assim as bases iguais para podermos anulá-las:

$\\\large\begin{array}{l}\implies~~~\sf\sqrt[\sf16]{\sf2^8\,}=\sqrt[\sf x]{\sf2^4\,}\\\\\sf\iff~~~\sqrt[\sf16:8]{\sf2^{8:8}}=\sqrt[\sf x]{\sf2^4\,}\\\\\sf\iff~~~\sqrt[\sf2]{\sf2^1\,}=\sqrt[\sf x]{\sf2^4\,}\\\\\sf\iff~~~2\:\!^{1/2}=2\:\!^{4/x}\\\\\sf\iff~~~\diagdown\!\!\!\!2\:\!^{1/2}=\diagdown\!\!\!\!2\:\!^{4/x}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~1~}{2}=\dfrac{~4~}{x}\\\\\sf\iff~~~1\cdot x=2\cdot4\\\\\iff~~~\boldsymbol{\boxed{\sf x=8}}\end{array}\\\\$

Vamos só substituir esse x na igualdade inicial para confirmar se a sentença torna-se verdadeira. Se for falsa então o valor que encontramos não é a solução:

$\\\begin{array}{l}\implies~~~\sf\sqrt[\sf16]{\sf2^8\,}=\sqrt[\sf x]{\sf2^4\,}\\\\\sf\iff~~~\sqrt[\sf16]{\sf2^8\,}=\sqrt[\sf 8]{\sf2^4\,}\\\\\sf\iff~~~\sqrt[\sf16:8]{\sf2\:\!^{8:8}\,}=\sqrt[\sf 8:4]{\sf2\:\!^{4:4}\,}\\\\\sf\iff~~~\sqrt[\sf2]{\sf2\:\!^1\,}=\sqrt[\sf2]{\sf2\:\!^1\,}\\\\\sf\iff~~~\sqrt{2\,}=\sqrt{2\,}~~\checkmark~~OK\end{array}\\\\$

Portanto, a alternativa a) x = 8 responde à questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$