Question

Determine o Valor de x na Equação:

$\mathsf{A_{x,3}-6.C_{x,2}~=~0 }$

Explicação passo-a-passo.​

Answer 1

$A_{x,3}~-~6.C_{x,2}~=~0\\\\\\\dfrac{x!}{(x-3)!}~-~6\,.\,\dfrac{x!}{2!\,.\,(x-2)!}~=~0\\\\\\\\\dfrac{x\,.\,(x-1)\,.\,(x-2)\,.\,(x-3)!}{(x-3)!}~-~6\,.\,\dfrac{x\,.\,(x-1)\,.\,(x-2)!}{2\,.\,(x-2)!}~=~0$

$"Cortando"~os~termos~semelhantes\\\\\\\dfrac{x\,.\,(x-1)\,.\,(x-2)\,.\,1}{1}~-~\dfrac{6}{2}\,.\,\dfrac{x\,.\,(x-1)\,.\,1}{1}~=~0\\\\\\x\,.\,(x-1)\,.\,(x-2)~-~3\,.\,x\,.\,(x-1)~=~0\\\\\\Deixando~em~"evidencia"~os~termos~x~e~(x-1)\\\\\\x\,.\,(x-1)~\,.~\,(x-2~-~3)~=~0\\\\\\x\,.\,(x-1)\,.\,(x-5)~=~0$

Temos então que os três zeros da equação são dados por:

$x~=~0~~~\rightarrow~~~\boxed{x~=~0}\\\\(x-1)~=~0~~~\rightarrow~~~\boxed{x~=~1}\\\\(x-5)~=~0~~~\rightarrow~~~\boxed{x~=~5}$

A questão, no entanto, não para aqui. Estes zeros calculados satisfazem a  equação algébrica determinada à partir da equação fatorial, mas não necessariamente satisfazem a equação fatorial em si.

Em outras palavras, vamos verificar os fatoriais existem quando os valores de "x" são substituídos. Lembrando, não podemos ter fatoriais negativos, apenas de números naturais.

$Para~~x=0:\\\\\left\{\begin{array}{cccc}x!&\rightarrow&0!&\boxed{\checkmark}\\(x-3)!&\rightarrow&(-3)!&\boxed{\times}\\(x-2)!&\rightarrow&(-2)!&\boxed{\times}\end{array}\right$

$Para~~x=1:\\\\\left\{\begin{array}{cccc}x!&\rightarrow&0!&\boxed{\checkmark}\\(x-3)!&\rightarrow&(-2)!&\boxed{\times}\\(x-2)!&\rightarrow&(-1)!&\boxed{\times}\end{array}\right$

$Para~~x=5:\\\\\left\{\begin{array}{cccc}x!&\rightarrow&5!&\boxed{\checkmark}\\(x-3)&\rightarrow&2!&\boxed{\checkmark}\\(x-2)!&\rightarrow&3!&\boxed{\checkmark}\end{array}\right$

Sendo assim, o único valor para "x" que satisfaz a equação é 5,

Answer 2

$\mathsf{A_{x,3}-6.C_{x,2}~=~0 }$

$\mathsf{x.(x-1)(x-2)-6\dfrac{x(x-1)}{2!}=0}$

$\mathsf{x(x-1)(x-2)-3x(x-1)=0}$

$\mathsf{x(x-1)[x-2-3]=0}$

$\mathsf{x(x-1)(x-5)=0}$

$\mathsf{x=0}\\\mathsf{x-1=0\to\, x=1}\\\mathsf{x-5=0\to\,x=5}$

$\mathsf{C_{x, 2}=\dfrac{x!}{2!(x-2)!}}$

Para x=0 e x=1 a equação não é satisfeita para x=5 é satisfeita.

$\boxed{\boxed{\mathsf{A_{x, 3}=\dfrac{x! }{(x-3)!}}}}$

Para x=0 e x=1 não se verifica e para x=5 é verdadeira. Portanto

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{s=\{5\}}}}$