Question

Determine o valor de $k$ para que as raízes $x_{1$ e $x_{2$ da equação 2$x^{2}$ + $kx$ -1=0 satisfaçam a relação $x^{2} _1$ + $x^{2} _2$ =1 ??

Answer 1

Primeiro aplicamos Bhaskara na equação para encontrarmos $x_1$ e $x_2$:

$\triangle=k^2-4.2.(-1)=k^2+8$

$x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2+8} }{4}$

$x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2+8} }{4 }$

Agora realizamos a substituição na relação pedida para encontrar o valor de $k$ que a satisfaz. (vão se desenrolar umas expressões meio extensas mas simplificaremos facilmente):

$(x_1)^2+(x_2)^2=1$

$(\frac{-k+\sqrt{k^2+8} }{4})^2+(\frac{-k-\sqrt{k^2+8} }{4})^2=1$

$\frac{k^2-2k\sqrt{k^2+8}+k^2+8 }{16} +\frac{k^2+2k\sqrt{k^2+8}+k^2+8 }{16}=1$

$\frac{2k^2-2k\sqrt{k^2+8}+8 }{16} +\frac{2k^2+2k\sqrt{k^2+8}+8 }{16}=1$

$\frac{2k^2-2k\sqrt{k^2+8}+8+2k^2+2k\sqrt{k^2+8}+8}{16}=1$

$\frac{4k^2+16}{16}=1$

$4k^2+16=16$

$4k^2=16-16$

$4k^2=0$

$k^2=0$

$k=0$