Question

Determine o valor de p na equação x^2 - 3x + 1-3p/2 =0, de modo que uma das raízes seja o inverso da outra

Answer 1

Por Bhaskara, temos que

$x = \dfrac{ - b \pm \sqrt{ {b}^{2} - 4ac } }{2a} = \dfrac{ - ( - 3) \pm \sqrt{ {( - 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( 1 - \frac{3p}{2} )} }{2} \\ = \dfrac{ 3 \pm \sqrt{ 9 -4 + 6p } }{2} \\ x' = \dfrac{3 + \sqrt{5 + 6p} }{2} \\ x'' = \dfrac{3 - \sqrt{5 + 6p} }{2}$

Mas como as raízes são inversas uma da outra, temos que

$x' \cdot x''=1$

Ou seja

$x' \cdot x'' = 1 \Rightarrow (\dfrac{3 + \sqrt{5 + 6p} }{2}) \cdot (\dfrac{3 - \sqrt{5 + 6p} }{2} ) = 1 \\ \Rightarrow \dfrac{9 - 5 + 6p}{4} = 1 \Rightarrow 4 + 6p = 4 \Rightarrow 6p = 0 \\ \Rightarrow p = 0$

Portanto, p deve ser igual a zero