Question

Determine o valor de P de modo que a função abaixo seja contínua

f(x) = {x² + Px + 2 , se x ≠ 3
. {3 , se x = 3


Explique o passo a passo

Answer 1

Resposta:

lim f(x) (x²+3px+2) = lim f(x) 3²+3p+2 = lim f(x) 9+3p+2 = 3p + 11

x->3+ x->3+ x->3+

lim f(x) (x²+3px+2) = lim f(x) 3²+3p+2 = lim f(x) 9+3p+2 = 3p+11

x->3- x->3- x->3-

3p+11 = 3

p = 8/3

Answer 2

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases} x {}^{2} + Px + 2 , \: se \: x \neq3 \\ 3 , \: se \: x = 3 \end{cases}$

Para uma função ser contínua, ela deve obedecer 3 restrições, que são:

• 1) A função deve ser definida no tal ponto que ela a continuidade é estudada;
• 2) Os limites laterais de x tendendo ao ponto de estudo devem ser iguais, ou seja, o limite bilateral deve existir;
• 3) O limite bilateral deve ter o mesmo valor da função no ponto estudado.

Vamos começar pelo começo kkskk;

• Restrição 1):

$f(3) = 3 \to \: definida$

A primeira restrição tá ok.

• Restrição 2):

$\lim_{x\to 3 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\to 3 {}^{ - } }f(x)$

Quando x tende a 3, ele se aproxima de 3 mas nunca chega em 3, ou seja, devemos utilizar a função que tem como restrição x ≠ 3:

$\lim_{x\to 3 {}^{ + } } x { + }^{2} P x + 2 = \lim_{x\to 3 {}^{ - } }x { + }^{2} P x + 2 \\ 9+ P.3 + 2 =9 + P.3 + 2 \\ 3P + 11 = 3P + 11 \\ 0 = 0$

Digamos que a restrição 2 foi cumprida.

• Restrição 3:

$\lim_{x\to 3} = f(x) \\ 0 \neq3$

Não são iguais, mas sabemos que o limite deve ser igual a função no ponto, então:

$\lim_{x\to 3}x {}^{2} + Px + 2 = 3 \\ 3 {}^{2} + P.3 + 2 = 3 \\ 9 + 3P + 2 = 3 \\ 3P = 3 - 11 \\ 3P = - 8 \\ \boxed{ P = - \frac{8}{3} }$

Espero ter ajudado