Question

Determine o valor de K sabendo que o resto da divisão de P(x) = x^4- 5x^3 - kx - 30 por (x - 1) é 5 .

Answer 1

 Lenno, boa noite!

 Quando o enunciado nos informa que o resto da divisão de P(x) por (x - 1) vale 5, devemos entender o seguinte: igualando o divisor (x - 1) a zero, iremos obter um valor; este valor substituído em P(x) nos dá o resto, ou seja, P(1) = 5.
 
 Igualemos o divisor a zero:

$\\ \mathsf{x - 1 = 0} \\ \mathsf{x = 1}$
 
 Substituindo "x" por 1, devemos encontrar como resultado o resto 5. Veja:

$\\ \mathsf{P(x) = x^4 - 5x^3 - kx - 30} \\ \mathsf{P(1) = 1^4 - 5 \cdot 1^3 - k \cdot 1 - 30} \\ \mathsf{5 = 1 - 5 - k - 30} \\ \mathsf{k = 1 - 5 - 30 - 5} \\ \boxed{\mathsf{k = - 39}}$