Question

Determine o valor de k real sabendo que os vetores→u(2 −2 0) →v(k 0 2)e→w(2 2 −1)são coplanares.

Answer 1

Para que os 3 vetores dados sejam coplanares, o determinante da matriz formada pelos três deve ser nula, e dessa forma k deve ter o valor de -8

Coplanaridade entre vetores

Na matemática, a coplanaridade entre vetores diz se um determinado número de vetores estão situados em um mesmo plano.

Para testar se 3 vetores são coplanares, ou seja, estão num mesmo plano geométrico, deve-se calcular o determinante de uma matriz 3x3, caso esse determinante seja nulo, os vetores são ditos coplanares.

Portanto, para a questão dada, temos os 3 vetores dados por:

$\vec u=(2, -2, 0)\\\\\vec v=(k, 0, 2)\\\\\vec w=(2, 2, -1)$

Agora, calculando o determinante da matriz formada pelos três:

$\left[\begin{array}{ccc}2&-2&0\\k&0&2\\2&2&-1\end{array}\right]$

Para calcular o determinante, basta repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz original e realizar a multiplicação dos elementos das diagonais principal e secundária com suas proximidades.

Portanto:

D=-8-8-2k
D=-16-2k

Para que sejam coplanares, o determinante deve ser nulo, portanto:

-16-2k=0
k=-8

Que é o valor de k para que os 3 vetores sejam coplanares.

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