Question

Determine o valor de k que torna o sistema a seguir impossivel:

x - y + kz = 1
x - 2z = 4
2x - 2y + 3z = -4

Answer 1

 Olá!!
 
 Temos que:

$\begin{cases} \mathsf{x - y + kz = 1 \qquad \quad \ (i)} \\ \mathsf{x - 2y = - 4 \qquad \qquad (ii)} \\ \mathsf{2x - 2y + 3z = 4 \quad \quad (iii)} \end{cases}$
 
 Isolemos "x" na equação (ii):

$\\ \mathsf{x - 2z = 4} \\ \mathsf{x = 2z + 4}$
 
 Por conseguinte, substituímos nas equações (i) e (iii), veja:

$\\ \large \begin{cases} \mathsf{x - y + kz = 1} \\ \mathsf{2x - 2y + 3z = - 4} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{(2z + 4) - y + kz = 1} \\ \mathsf{2 \cdot (2z + 4) - 2y + 3z = - 4} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{2z + kz - y = - 4 + 1} \\ \mathsf{4z + 3z - 2y = - 4 - 8} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{(2 + k)z - y = - 3} \\ \mathsf{7z - 2y = - 12} \end{cases}$
 
 Resolvendo o último sistema,

$\\ \large \begin{cases} \mathsf{(2 + k)z - y = - 3 \qquad \qquad \times (- 2} \\ \mathsf{7z - 2y = - 12} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{- 2 \cdot (2 + k)z + 2y = 6} \\ \mathsf{7z - 2y = - 12} \end{cases} \\ ------------- \\ \mathsf{7z - 4z - 2kz = 6 - 12} \\\\ \mathsf{(7 - 4 - 2k) \cdot z = - 6}$
 
 A equação será IMPOSSÍVEL se o denominador for NULO. Daí, temos que:

$\\ \mathsf{7 - 4 - 2k = 0} \\ \mathsf{- 2k = - 3} \\ \boxed{\mathsf{k = \frac{3}{2}}}$