Question

determine o valor de k positivo para que a equação x² - 2kx + (k+1) = 0 tenha uma raiz igual ao triplo da outra.

Answer 1

K=2 ou K=-2/3

Por bhaskara achamos as raízes de x²-2kx+(k+1)=0. E nos sabemos que uma raiz dessa equação é igual ao triplo da outra, então, sendo x' e x'' as raizes da equação, fazemos x'=3x''. Com isso achamos outra eq. do 2° grau e os possíveis valores de K.

Resposta nas imagens!

Answer 2

O valor de k deve ser 2.

Equação do 2° grau: x² - 2kx + (k+1) = 0

Os coeficientes são:

a = 1

b = - 2k

c = k + 1

Δ = b² - 4ac

Δ = (-2k)² - 4.1.(k + 1)

Δ = 4k² - 4k - 4

As raízes de uma equação do 2° grau são dadas por:

x' = - b + √Δ  e  x'' = - b - √Δ

          2a                       2a

Logo:

x' = - (-2k) + √4k² - 4k - 4

                      2a

x' = 2k + √4k² - 4k - 4

                   2

E...

x'' = 2k - √4k² - 4k - 4

                   2

Uma raiz deve ser o triplo da outra. Logo:

x' = 3.x''

2k + √4k² - 4k - 4 = 3.(2k - √4k² - 4k - 4)

              2                                  2

2k + √4k² - 4k - 4 = 3.(2k - √4k² - 4k - 4)

2k + √4k² - 4k - 4 = 6k - 3.(√4k² - 4k - 4)

√4k² - 4k - 4 + 3.(√4k² - 4k - 4) = 6k - 2k

4.(√4k² - 4k - 4) = 4k

(√4k² - 4k - 4) = k

Elevando os dois lados ao quadrado, temos;

4k² - 4k - 4 = k²

4k² - k² - 4k - 4 = 0

3k² - 4k - 4 = 0

Fatorando, temos:

(3k + 2).(k - 2) = 0

Logo:

3k + 2 = 0

3k = - 2

k = - 2/3

k - 2 = 0

k = 2

Como a questão pede o valor positivo de k, temos:

k = 2.