Question

Determine o valor de k para que x2 - 4kx + 4 > 0 para todo x real

Answer 1

Oi! Resolveremos esse exercício sobre inequação de segundo grau.

• O que é uma inequação?

A inequação é uma desigualdade entre duas expressões. Nessa atividade, temos que encontrar valores para k que satisfazem essa desigualdade, no caso, para que o resultado da expressão quadrática seja maior que zero.

• Primeiras análises

Em uma função do segundo grau, a raízes representam graficamente aonde a parábola toca no eixo x (caso as raízes sejam reais), ou seja, representa os valores de x em que a função resulta em zero.

➯ Se queremos que a expressão seja maior que zero, ela não pode encostar no eixo x.

• Concavidade da parábola

A função genérica do segundo grau é:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Onde, a representa a concavidade da parábola. Se a > 0, a concavidade é voltada para cima. Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.

➯ Só lembrando que a é o único coeficiente que não pode ser zero, se não a função deixa de ser do segundo grau.

Na equação $x^2-4kx+4=0$, a > 0. Logo, a concavidade dessa parábola é voltada para cima.

• Análise do discriminante

O discriminante ($\Delta$) define a natureza das raízes de uma função quadrática.

➢ Se $\Delta >0$, existem duas raízes reais distintas e a parábola toca o eixo x em dois pontos.

➢ Se $\Delta=0$, existem duas raízes reais iguais e a parábola toca o eixo x em um ponto.

➢ Se $\Delta<0$, existem duas raízes complexas distintas e a parábola não toca o eixo x.

Lembrando que:

$\Delta=b^2-4ac$

• Interpretação

Para que $x^2 - 4kx + 4 > 0$ para todo x real, precisamos que o valor do delta seja negativo. Dessa forma, a parábola nunca iria encostar no eixo x e seu valores seriam sempre positivos, pois a > 0.

• Resolução

Calculando o discriminante

$\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-4k)^2-4\cdot1\cdot4\\\\\Delta=16k^2-16$

Montando a inequação

$\Delta<0\\\\16k^2-16<0\\\\16k^2<16\\\\k^2< \frac{16}{16}\\\\k^2<1\\\\\boxed{-1<k<1}$

• Qual a resposta?

$S=\{k\in\Re~|~-1<k<1\}$

☑ Saiba mais em:

1. Função do segundo grau: https://brainly.com.br/tarefa/3329233

2. Coeficientes da função quadrática: https://brainly.com.br/tarefa/15927152

3. Inequação: https://brainly.com.br/tarefa/6176431

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️