Question

determine o valor de k para que o ponto M (2,1) seja o ponto médio que o segmento da reta que liga o ponto a (-3,k) e B (7,3)

Answer 1

Para que M seja o ponto medio, o vetor que liga M ao ponto (-3,k) deve ter o mesmo tamanho que o vetor que liga M ao ponto (7,3).

O vetor que liga M a (-3,k) é:

            (-3,k) - (2,1) = (-3 - 2  ,  k-1)  =  (-5 , k-1)

O vetor que liga M a (7,3) é:

            (7,3) - (2,1) = (7 - 2  ,  3 - 1)  =  (5 , 2)

O tamanho do vetor é dado pelo seu modulo, assim o tamanho dos dois vetores é:

$\sqrt{x^2+y^2} \\\\\sqrt{(-5)^2+(k-1)^2}\\\\\\\sqrt{x^2+y^2} \\\\\sqrt{(5)^2+(2)^2}\\\\\sqrt{25 + 4}\\\\\sqrt{29}$

Igualando os dois, temos:

$\sqrt{25 + (k-1)^2}=\sqrt{29}\\\\25+(k-1)^2=29\\\\(k-1)^2=4\\\\k^2-2k-3=0\\\\Bhaskara\\k_1=9\\k_2=-7$

Temos duas possibilidades de "k", porém note que se k=9 o ponto (-3,k) estaria à esquerda de M, ou seja, M não seria ponto medio.

Resposta: k = -7