Question

Determine o valor de k para que o polinômio x³+x²+3x+k seja divisível por x+3.

Escolha uma:
-27
27
-45
45

Answer 1

Podemos aplicar o Teorema de D'Alembert, que é uma extensão natural do Teorema do Resto. 

Dividendo: x³ + x² + 3x + k
Divisor: x + 3

Raiz do divisor: x + 3 = 0 então x = -3

Substituindo esse valor no dividendo encontraremos o resto que tem que ser zero pois sabemos que o polinômio do dividendo é divisível pelo do divisor, logo:

(-3)³ + (-3)² + 3.(-3) + k = 0
-27 + 9 - 9 + k = 0

Logo k = 27. 

Também poderíamos fazer de outra forma, como uma divisão normal.
Dividindo o maior termo do dividendo com o maior que está no divisor, temos:

x³ + x² + 3x + k  | x + 3 
-x³ - 3x²               x²
      -2x² + 3x + k

Continuando a dividir, temos:

x³ + x² + 3x + k  | x + 3 
-x³ - 3x²               x² - 2x
      -2x² + 3x + k
      +2x² + 6x
              9x + k

E mais uma vez para finalizar:

x³ + x² + 3x + k  | x + 3 
-x³ - 3x²               x² - 2x + 9
      -2x² + 3x + k
      +2x² + 6x
              9x + k
              -9x -27
                    k - 27

Vemos que "k - 27" é o resto. Se tem que ser divisível, o resto tem que ser zero, logo:

k - 27 = 0

k = 27

Note que foi feito de duas formas diferentes, mas independentemente disso (do método utilizado) o resultado tem que ser igual.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!