Question

Determine o valor de k nas equações de modo que:
a)x²-12x+k=0 tenha duas raizes reais e iguais
b)2x²-6x+3k=0 não tenha raízes iguais
c)x²+kx+4=0 tenha raizes reais e iguais
d)kx²-2 (k+1)x+ (k+5)=0 tenha duas raizes reais e diferentes

Answer 1

a) raízes reais e iguais ---> delta = 0
    x²-12x+k=0
     Δ = b² - 4ac = 0
     Δ = (-12)² - 4(1)(k) = 0
            144 - 4k = 0
                   -4k = -144
                    4k = 144 ---> k = 144/4 --> k = 36
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b) raízes reais e diferentes ---> delta > 0
     2x²-6x+3k=0
    Δ = b² - 4ac >0
          (-6)² - 4(2).(3k) > 0
           36 - 24k > 0
           -24k > -36
            24k  >36
                k > 36/24 --> k > 3/2
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c)    delta = 0
       x²+kx+4=0
       Δ = 0
       k² - 4(1).(4) = 0
       k² -16 = 0
       k² =16 --> k= √16 -->k = 4
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  d) delta > 0
      kx² -2(k+1)x + (k+5) = 0
      a = k
      b = (-2k-2)
      c = (k+5)
    
      Δ = b² - 4ac> 0
            (-2k-2)² - 4k.(k+5) > 0
             4k² + 8k + 4 - 4k² - 20k > 0
             -12k  + 4 > 0
             -12k > - 4
              12k > 4
                 k > 4/12 ---> k > 1/3