Matemática, perguntado por moniqueCarvalho, 1 ano atrás

Determine o valor de k na equação x² – kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo

Sendo $x_{1}$ e $x_{2}$ as raízes da equação

$x^{2}-kx+36=0$

deseja-se determinar $x_{1}$ e $x_{2}$ , de modo que

$x_{2}=4x_{1}$

Observemos a equação quadrática:

$x^{2}-kx+36=0\;\;\Rightarrow\;\;a=1,\;b=-k,\;c=36$

Sendo $x_{1}$ e $x_{2}$ as raízes desta equação, devemos ter

$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}\;\;\text{ (soma das ra\'{i}zes)}\\ \\ x_{1}+4x_{1}=-\dfrac{-k}{1}\\ \\ 5x_{1}=k\\ \\ \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}\;\;\text{ (produto das ra\'{i}zes)}\\ \\ x_{1}\cdot 4x_{1}=\dfrac{36}{1}\\ \\ 4x_{1}^{2}=36\\ \\ x_{1}^2=\dfrac{36}{4}\\ \\ x_{1}^{2}=9\\ \\ x_{1}=\pm \sqrt{9}\\ \\ x_{1}=\pm 3$

Pela relação da soma das raízes, temos

$k=5x_{1}\\ \\ k=5\cdot \left(\pm 3 \right )\\ \\ k=\pm 15\\ \\ k=15\;\;\text{ ou }\;\;k=-15$

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores do parâmetro "k" de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = \pm15\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação polinomial do segundo grau - equação quadrática:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - kx + 36 = 0\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 1\\b = -k\\c = 36\end{cases}$

Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos a partir do enunciado que uma das raízes é o quádruplo da outra. Então temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x' = 4x''\end{gathered}$}$

Sabendo que - pelas relações de Girard com respeito à soma e ao produto das raízes - temos:

$\LARGE\begin{cases} x' + x'' = -\frac{b}{a}\\x'\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases} 4x'' + x'' = -\frac{b}{a}\\4x''\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}$

Então, temos:

$\LARGE\begin{cases} 5x'' = -\frac{b}{a}\\4x''^{\,2} = \frac{c}{a}\end{cases}$

Substituindo os coeficientes no último sistema de equações, temos:

$\LARGE\begin{cases} 5x'' = -\frac{(-k)}{1}\\4x''^{\,2} = \frac{36}{1}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases}5x'' = k\:\:\:\:\:\:\:\:\bf I\\ 4x''^{\,2} = 36\:\:\:\:\bf II\end{cases}$