Question

determine o valor de k:

4x² - kx + 4 = 0 tem uma solução real

kx² + 6x +1 = 0 não tem solução real

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bianchini, que é simples.

1ª questão: São pedidos os possíveis valores de "k" para que a equação abaixo tenha apenas uma solução real (ou seja tenha duas raízes reais e IGUAIS):

4x² - kx + 4 = 0

Veja: para que uma equação do 2º grau tenha apenas uma raiz real (ou uma solução real, ou ainda: duas raízes reais e IGUAIS), o seu delta (b² - 4ac) deverá ser IGUAL a zero. Note que o delta (b² - 4ac) da função acima é este: ((-k)² - 4*4*4)). Então vamos impor que esse delta seja igual a zero. Assim:

(-k)² - 4*4*4 = 0
k² - 64 = 0
k² = 64
k = +-√(64) ----- como √(64) = 8, então teremos que:
k = +- 8 ---- ou seja, daqui você conclui que:

k = - 8, ou k = 8 <--- Esta é a resposta. Ou seja, para que a função dada tenha duas raízes reais e IGUAIS "k" deverá ser igual a "-8" ou igual a "8".

2ª questão: Para que valores de "k" a função abaixo NÃO terá solução real (ou não terá raízes reais)?

kx² + 6x + 1 = 0

Veja: uma função do 2º grau não terá raízes reais se o seu delta (b² - 4ac) for MENOR do que zero. Veja que o delta (b² - 4ac) da função acima é este: (6² - 4*k*1). Então vamos impor que este delta seja MENOR do que zero. Assim:

6² - 4*k*1 < 0
36 - 4k < 0
- 4k < - 36 ---- vamos multiplicar ambos os membros por "-1", ficando:
4k > 36 ---- (note: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sinal também muda. Como antes o sinal era "menor que" passou a ser "maior que" exatamente porque multiplicamos ambos os membros por "-1").
Assim, repetindo, teremos:

4k > 36
k > 36/4
k > 9 ------- Esta é a resposta. Para que a função da 2ª questão não tenha raízes reais (ou não tenha solução real), "'k" deverá ser MAIOR do que "9".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.