Question

Determine o valor de g^(-1)(x).f(x). Sabendo que a função afim é f(2)=4, f(-3)=-11, e g(x)= 3x-5/ (g(x) é uma divisão)
4x+1

Answer 1

$g(x)= \frac{3x-5}{4x+1} \\\\\text{encontrando a inversa}\\\\ x= \frac{3g-5}{4g+1} \\\\x(4g+1)=3g-5\\\\4xg+x=3g-5\\\\4xg-3g=-5-x\\\\g(4x-3)=-5-x\\\\g= \frac{-x-5}{4x-3} \\\\\boxed{g^{-1}(x)= \frac{-(x+5)}{4x-3} }$


f(x) é uma função afim, então f(x)=ax+b

$f(2)=4\\\\ a*2+b=4 \to \boxed{2a+b=4}\to \text{equacao 1}\\\\\\ f(-3)=-11\\\\a*(-3)+b=-11 \to \boxed{-3a+b=-11}\to \text{equacao 2}$

subtraindo (equaação 1)-(equação 2)
$(2a+b)-(-3a+b)= 4-(-11)\\\\2a+b+3a-b=4+11\\\\5a=15\\\\\boxed{a=3}$

substituindo o valor de "a" na equação 1

$2a+b=4\\\\2*(3)+b=4\\\\\boxed{b=-2}$

como: f(x))=ax+b , f(x)=3x-2


resolvendo:

$g^{-1}(x)*f(x)= \frac{-(x+5)}{4x-3} * (3x-2)= \frac{-(x+5)*(3x-2)}{4x-3} =\\\\ = \frac{-(3x^2-2x+15x-10)}{4x-3} = \frac{-(3x^2+13x-10)}{4x-3} = \frac{-3x^2-13x+10}{4x-3}$