Question

determine o valor de a, sendo A(3,1) B(2a,-1) C(-2,-3) e a área do triangulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6

Answer 1

Olá, boa noite.

Sejam os pontos $A~(3,~1),~B~(2a,\,-1)$ e $C~(-2,\,-3)$ os vértices de um triângulo $\triangle{ABC}$ no plano cartesiano. Devemos determinar o valor de $a$ sabendo que $A(\triangle{ABC})=6$.

Lembre-se que a área de um triângulo cujos vértices são os pontos de coordenadas $(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ é calculada pela fórmula: $A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{Vmatrix}$.

Assim, teremos:

$6=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}3&1&1\\2a&-1&1\\-2&-3&1\\\end{Vmatrix}$

Multiplique ambos os lados da equação por $2$

$\begin{Vmatrix}3&1&1\\2a&-1&1\\-2&-3&1\\\end{Vmatrix}=12$

Para calcular este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcular a diferença entre as somas dos produtos dos elementos das diagonais principais e as somas dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{vmatrix}3&1&1\\2a&-1&1\\-2&-3&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}3&1\\2a&-1\\-2&-3\\\end{matrix}\right|=12$

Aplique a Regra de Sarrus

$|3\cdot(-1)\cdot1+1\cdot1\cdot(-2)+1\cdot2a\cdot(-3)-(1\cdot2a\cdot1+3\cdot1\cdot(-3)+1\cdot(-1)\cdot(-2))|=12$

Multiplique e some os valores

$|-3-2-6a-2a+9-2|=12\\\\\\ |-8a+2|=12$

Resolva a equação modular, sabendo que $|x|=\begin{cases}x,~se~x>0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$.

Separamos em dois casos:

$-8a+2=12~~\bold{ou}~~-8a+2=-12$

Subtraia $2$ em ambos os lados das equações

$-8a=10~~\bold{ou}~~-8a=-14$

Divida ambos os lados das equações por um fator $(-8)$ e simplifique as frações por um fator $2$

$a=-\dfrac{5}{4}~~\bold{ou}~~a=\dfrac{7}{4}$

Estes são os valores de $a$ que satisfazem o enunciado.