Question

Determine o valor de "a" para que o limite seja igual a -11/2

Answer 1

LIm [√(x²+2x) -√(x²+ax)]   =-11/2

x-->-∞

=[√(x²+2x) -√(x²+ax)] * [√(x²+2x) +√(x²+ax)]/[√(x²+2x) +√(x²+ax)]

=[√(x²+2x)² -√(x²+ax)²] /[√(x²+2x) +√(x²+ax)]

=(x²+2x-x²-ax)/[√(x²+2x) +√(x²+ax)]

(2x-ax)/[√(x²+2x) +√(x²+ax)]

# colocando em evidência x , saindo de raiz fica |x|

=x*(2-a)/[|x|*√(1+2/x) +|x|*√(1+a/x)

# como x-->-∞ , para tirar o sinal do módulo basta colocar o sinal negativo

=x*(2-a)/[-x*√(1+2/x) -x*√(1+a/x)

=(2-a)/[-√(1+2/x) -√(1+a/x)

Lim  (2-a)/[-√(1+2/x) -√(1+a/x) =-11/2

x-->-∞

(2-a)/[-√(1+2/(-∞)) -√(1+a/(-∞)) =-11/2

(2-a)/[-√(1+0) -√(1+0) =-11/2

(2-a)/[-2]=-11/2

(2-a)=11

a=2-11

a=-9  é a resposta

Answer 2

Resposta:

a = -9

Explicação passo a passo:

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+ax})=-\frac{11}{2}$

Esse é um limite indeterminado da foram ∞ - ∞ .

Levantando a indeterminação:

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+ax})= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+ax})(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+ax}) }{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+ax} } =\\\\= \lim_{x \to- \infty} \frac{x^2+2x-(x^2+ax)}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+ax} }$

O limite de uma função polinomial quando x tende para mais ou menos infinito, é igual ao limite de seu termo de maior grau.

Lembrando que | x | = x, se x > 0 e | x | = - x , se x < 0

$\sqrt{x^2 }=| x |$

$\lim_{ \to \infty}\frac{x^2+2x-x^2-ax}{\sqrt{x^2} +\sqrt{x^2} } = \frac{x(2-a)}{-x-x} =\frac{x(2-a)}{-2x} =\frac{2-a}{-2}=\frac{a-2}{2}$

$Como~~ \frac{a-2}{2} =-\frac{11}{2} \\\\a-2=-11\\\\a=-11+2\\\\a=-9$