Question

Determine o valor de a e b para que o sistema admita infinitas soluções.

Answer 1

Resposta:

Para que o sistema admita infinitas soluções os valores de a e b devem ser, respectivamente, 7 e 15.

Explicação passo a passo:

Para que um sistema linear admita infinitas soluções, isto é, seja SPI - Sistema Possível e Indeterminado devemos ter o determinante da matriz dos coeficientes igual a zero e equações iguais ou proporcionais.

Dessa forma montando a matriz dos coeficientes temos:

$\begin{vmatrix}a&1&2\\2&-1&1\\4&1&1\end{vmatrix}=0\\\\-a+4+4+8-a-2=0\\\\2a=14\\\\a=7$

Fazendo a = 7 temos o seguinte sistema: (podemos colocar a 1ª equação como a mais simples para facilitar o escalonamento)

2x - y + z = b     (I)

7x + y + 2z = 0  (II) ⇒ (II) + (I)

4x + y + z = -5   (III) ⇒ (III) +(I)

2x - y + z = b     (I)

9x      + 3z = b  (II)

6x      + 2z = b-5   (III) ⇒ 3/2(III)

2x - y + z = b     (I)

9x      + 3z = b  (II)

9x      + 3z = 3(b-5)/2   (III)

Dessa forma (II) e (III) devem ser iguais para que o sistema seja SPI.

b = 3(b-5)/2

2b = 3b - 15

-b = -15

b = 15