Question

Determine o valor de a e b no polinômio P(x) = x³ + ax² + (b – 10)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e P(2) = 25. * 1 ponto O valor de a é igual a 8 e o valor de b e igual a 3. O valor de a é igual a 6 e o valor de b e igual a –1. O valor de a é igual a 10 e o valor de b e igual a –2. O valor de a é igual a 4 e o valor de b e igual a 4. O valor de a é igual a 5 e o valor de b e igual a –3.

Answer 1

O enunciado diz que 1 é raiz do polinômio. Isso quer dizer que quando x = 1, o polinômio será igual a 0, ou seja, p(1) = 0.

$P(x)=x^{3}+ax^{2}+(b-10)x+1\\ \\ P(1)=1^{3}+a\cdot 1^{2}+(b-10)\cdot 1+1\\ \\ P(1)=1+a+b-10+1\\ \\ P(1)=a+b-8\\ \\ \\\\ Como~~ P(1)=0,~temos~que:\\ \\ a+b-8=0\\ \\ \boxed{a+b=8}$

O enunciado também diz que P(2) = 25, e isso quer dizer que quando x = 2, o polinômio será igual a 25. Ou seja:

$P(x)=x^{3}+ax^{2}+(b-10)x+1\\ \\ P(2)=2^{3}+a\cdot 2^{2}+(b-10)\cdot 2+1\\ \\ P(2)=8+a\cdot 4+2b-20+1\\ \\ P(2)=8+4a+2b-20+1\\ \\ P(2)=4a+2b-11\\ \\ \\\\ Como~~ P(2)=25,~temos~que:\\ \\ 4a+2b-11=25\\ \\ 4a+2b=25+11\\ \\ \boxed{4a+2b=36}$

Temos então que     (I) a + b = 8      e       (II) 4a + 2b = 36.  

Vamos isolar  ''a''  em  (I)    e  substituir em (II).

a + b = 8

a = 8 - b

4a + 2b = 36    e    a = 8 - b

4 · (8 - b) + 2b = 36

32 - 4b + 2b = 36

- 4b + 2b = 36 - 32

- 2b = 4

- b = 4/2

b = - 2

Como  a + b = 8 e   b = -2, então temos:

a + b = 8

a + (-2) = 8

a - 2 = 8

a = 8 + 2

a = 10

Resposta:

a = 10   e   b = - 2

:)