Question

Determine o valor da expressão

i31 + i108 – i64 + i431. i-795 + 3i365

Answer 1

Temos que:

$i^{2}=-1$

$i^3=-i$

$i^4=1$

$i^5=i$

$\dots$

Daí, deduzimos que, $i^{4n}=1$, $i^{4n+1}=i$, $i^{4n+2}=-1$ e $i^{4n+3}=-i$, com $n\in\mathbb{N}$.

Deste modo:

$i^{31}=i^{4n+3}=-i$

$i^{108}=i^{4n}=1$

$i^{64}=i^{4n}=1$

$i^{431}=i^{4n+3}=-i$

$i^{795}=i^{4n+3}=-i$

$i^{365}=i^{4n+1}=i$.

Assim, 

$i^{31}+i^{108}-i^{64}+i^{431}\cdot i^{795}+3\cdot i^{365}=-i+1-1+(-i)\cdot\dfrac{1}{(-i)}+3i$

$i^{31}+i^{108}-i^{64}+i^{431}\cdot i^{795}+3\cdot i^{365}=-i+1+3i=2i+1$