Question

Determine o resultado da integral:

∫(y²+4y-8)dy

Answer 1

Resposta:   $\displaystyle \int (y^2+4y-8)\,dy=\frac{y^3}{3}+2y^2-8y+C,\quad\mathrm{com~}C\in\mathbb{R}.$

Explicação passo a passo:

Queremos calcular a integral indefinida de uma função polinomial na variável y:

    $\displaystyle\int (y^2+4y-8)\,dy$

Podemos integrar separadamente cada termo do polinômio, aplicando as propriedades de integrais indefinidas (a integração é um operador linear):

    $\begin{array}{l}\displaystyle=\int y^2\,dy+\int 4y\,dy-\int 8\,dy\\\\ \displaystyle=\int y^2\,dy+4\int y\,dy-8\int 1\,dy\qquad\mathrm{(i)} \end{array}$

Agora, aplicamos a regra para a primitiva de potências:

    $\displaystyle\int y^n\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C,\qquad\mathrm{para~}n\ne -1$

Então, a integral (i) fica

    $\begin{array}{l} =\dfrac{y^{2+1}}{2+1}+4\cdot \dfrac{y^{1+1}}{1+1}-8y+C\\\\ =\dfrac{y^3}{3}+4\cdot \dfrac{y^2}{2}-8y+C\\\\ =\dfrac{y^3}{3}+2y^2-8y+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}$

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Bons estudos!