Question

determine o resto da divisao por 9 do numero $3211^{89^1^7^3}$ (estou retribuindo com muitos pontos me ajudeeeem)

Answer 1

Determinar o resto da divisão do número

     3211^(89^(1^(7³)))

por  9.


Solução:

Qualquer potência de base  1  tem como resultado o próprio  1.  Logo,

     1^(7³) = 1


Dessa forma, o número que queremos calcular o resto de

      $\mathsf{3211\hat{~~}(89^1)=3211^{89}}$

por  9.


Pelo critério de divisibilidade por  9, podemos obter o resto da divisão. Podemos escrever que

     $\mathsf{3211\equiv 3+2+1+1\quad(mod~9)}\\\\ \mathsf{3211\equiv 7\quad(mod~9)}$

pois  3211 = 9 · 356 + 7.


Eleve os dois lados da congruência a  89:

     $\mathsf{3211^{89}\equiv 7^{89}\quad(mod~9)\qquad(i)}$


Observemos o que acontece com as potências de 7:

     •  $\mathsf{7^2=49\equiv 4\quad(mod~9)}$


     •  $\mathsf{7^2\cdot 7\equiv 4\cdot 7\quad(mod~9)}$

        $\mathsf{7^3\equiv 28\equiv 1\quad(mod~9)}$


Achamos uma congruência que nos será útil para resolver esse problema. Como

     $\mathsf{7^3\equiv 1\quad(mod~9)\qquad(ii)}$

vamos achar o quociente da divisão do número expoente  89  por  3.


Sabemos que

      $\mathsf{89=3\cdot 29+2}$


Logo, eleve os dois lados da congruência  (ii)  a  29:

     $\mathsf{(7^3)^{29}\equiv 1^{29}\quad(mod~9)}\\\\ \mathsf{7^{3\,\cdot\,29}\equiv 1^{29}\quad(mod~9)}\\\\ \mathsf{7^{87}\equiv 1\quad(mod~9)}$


Multiplique os dois lados por  7²:

     $\mathsf{7^{87}\cdot 7^2\equiv 1\cdot 7^2\quad(mod~9)}\\\\ \mathsf{7^{87+2}\equiv 7^2\quad(mod~9)}\\\\ \mathsf{7^{89}\equiv 49\equiv 4\quad(mod~9)}$


Aplicando o resultado acima à congruência  (i),  temos que

     $\mathsf{3211^{89}\equiv 7^{89}\equiv 4\quad(mod~9)}$


Como  0 ≤ 4 < 9,  o resto da divisão é  4.


Resposta:  4.


Bons estudos! :-)