Question

– Determine o resto da divisão de P(x) por G(x):

a) P(x) = x³ + x² + 2x – 1 e G(x) = x – 1.

b) P(x) = x³ - 2x² + 7x – 8 e G(x) = x – 2.

Answer 1

Resposta:

a) resto = + 3

b) resto = + 6

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Determine o resto da divisão de P(x) por G(x):  

a) P(x) = x³ + x² + 2x – 1 e G(x) = x – 1.

b) P(x) = x³ - 2x² + 7x – 8 e G(x) = x – 2.

Resolução:

a) P(x) = x³ + x² + 2x – 1   e    G(x) = x – 1

 x³     + x²     + 2x      - 1                 | x - 1

- x³     + x²                                         x² + 2x + 4

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 0       2 x²       + 2x      - 1

        - 2 x²       + 2x

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             0         + 4x       - 1

                         - 4x      + 4

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                            0       + 3

Como determinar o quociente e o resto ?

1ª etapa

Dividir o monómio de maior grau do dividendo, pelo monómio de maior grau do divisor.

$\frac{x^{3} }{x} = x^{3-1} = x^{2}$

2ª etapa

Este " x² " , que é o monómio mais à esquerda do quociente ,vai multiplicar os monómios do divisor , um de cada vez.

$x^{2} *x = x^{3}$

$x^{2} *(- 1 ) = - x^{2}$

Repare que dá " x³ "  e    " - x² "

Uso os simétricos : " - x³ " e coloco-o por baixo do monómio em " x³ " do  dividendo

o simétrico de " - x² " que é " + x² "  e coloco-o debaixo do monómio em " x² " do dividendo

3 ª etapa

Adicionar ordenadamente os monómios do dividendo aos monómios colocados por baixo do dividendo

Obtém-se:

0       2 x²       + 2x      - 1  

 

4ª etapa

Repete-se o mesmo processo com " 2 x²     + 2x      - 1  "  e outros polinómios até que no resto ou está o valor zero , ou um monómio de grau inferior ao monómio de maior grau do divisor

Aqui terminamos pois o resto já deu " + 3 " que é um monómio com grau

inferior ao maior monómio do divisor  ( que é "x" )

Repara que " + 3 " também pode ser escrito como um monómio em "x".

$+ 3 * x^{0}$

Só que  $x^{0} =1$   , logo  1 * 3 = 3

Cálculo terminado e resto encontrado.

b) P(x) = x³ - 2x² + 7x – 8      e      G(x) = x – 2  

 x³     - 2x²      + 7x      - 8         | x - 2

- x³    + 2x²                                  x²   + 7

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 0        0          +7x        - 8

                       - 7x       + 14

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                          0        + 6

Aqui terminamos pois o resto já deu " + 6 " que é um monómio com grau

inferior ao maior monómio do divisor  ( que é "x" )

Fim dos cálculos da tarefa.

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Se quer aprender mais para se tornar autónomo, leia , por favor o que se segue.

A partir daqui são algumas regras necessárias para se perceber o que se faz quando lidámos com monómios e polinómios, bem como a noção de "algoritmo da divisão."

Observação 1 → Vou-lhe indicar um conjunto de regras a cumprir para que aprenda a fazer por si só a resolver este tipo de problemas.

Observação 2 → Fazer esta divisão é aquilo a que em Matemática se chama o "algoritmo da divisão ".

Parece uma palavra estranha " algoritmo" .  

Mas em termos básicos deverá ser " fazer a conta de dividir"

Observação 3 → Regras para efetuar a divisão de um polinómio por outro polinómio

Observação 3_1 →

Ter sabido que há uma "lei fundamental da divisão."

Dividendo = divisor * quociente + resto

dividendo         | divisor

resto                    quociente

Observação 3_2

Divisão de um polinómio por outro.

A maior parte das vezes aparece no dividendo um polinómio com mais monómios que o do divisor.  

Observação 3_3

Colocar no dividendo e no divisor os monómios por ordem decrescente de grau.

Atenção que se faltar algum monómio de grau intermédio tem que se colocar "0 * x elevado au grau em falta"

Exemplo:

Dividir     3x + 2 + 5 x³    por    3 + x

Quando montar a divisão tem de ficar assim:

5 x³  + 0x²  + 3x + 2    | x + 3

Observação 3_4

Monómio  → é uma pequena expressão em que surgem duas partes.

Parte literal, muitas vezes com as letras "x" ou "y" ou "z"

Coeficiente, muitas vezes com valores numéricos.

Exemplo:  no monómio " - 2 x² "

parte literal é  " x² "

coeficiente é " - 2 "

Polinómio → é uma adição sucessiva de monómios

Exemplo : x³ - 2x² + 7x – 8

Tem quatro monómios: " x³ " ; " - 2x² " ; " 7x " ; " - 8 "

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicar

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Nota final: A explicação de vários conceitos e processos aqui indicados é feita com carater instrutivo.

O rigor matemático não é levado ao extremo.