Question

determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x)por g(x): f(x)=3x^5-x³+4x²-2x+1 e g(x)=x³-x²+1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar o quociente [q(x)] e o resto [r(x)] da divisão de f(x) por g(x), sabendo-se que:

f(x) = 3x⁵ - x³ + 4x² - 2x + 1
e
g(x) = x² - x² + 1

Veja: vamos fazer a divisão pelo método tradicional. E vamos complementar com "0" o coeficiente faltante de f(x), que vai ser o termo em "x⁴". E vamos também complementar também com "0" o coeficiente faltante em g(x), que vai ser o termo em "x".
Assim, fazendo a divisão e complementando com "0" os coeficientes faltantes de f(x) e g(x), termos isto:

3x⁵ + 0x⁴ - x³ + 4x² - 2x + 1 |_x³ - x² + 0x +1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x² + 3x + 2 <--- quociente
-3x⁵+3x⁴ -0x³ - 3x²
------------------------------------
0 + 3x⁴ - x³ + x² - 2x + 1
...- 3x⁴+3x³ -0x² - 3x
----------------------------------
......0 + 2x³ + x² - 5x + 1
.........- 2x³ +2x² - 0x - 2
------------------------------------
.........0 + 3x² - 5x - 1 <--- Este é o resto (note que sabemos que este é o resto, pois ele tem grau menor que o grau do divisor).

Assim, teremos que o quociente [q(x)] e o resto [r(x)] serão estes:

q(x) = 3x² + 3x + 2
e
r(x) = 3x² - 5x - 1

Em outras palavras, veja que em toda e qualquer divisão, o dividendo (D) é igual ao divisor (d) vezes o quociente (q) mais o resto (r), ou seja:

D = d*q + r

Assim, na sua questão teremos que:

3x⁵ - x³ + 4x² - 2x + 1 = (x³ - x² + 1)*(3x² + 3x + 2) + 3x² - 5x - 1

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.