Question

determine o produto das soluções da equação
(12034³-x)²-x=1

Answer 1

Olá.

Vamos expandir o produto notável do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(12034³ - x)² - x = 1

12034⁶ - 2.12034³x + x² - x - 1 = 0

x² - (2.12034³ - 1)x + 12034⁶ -1 = 0

Veja que isso é uma equação do segundo grau, e que poderia ser resolvida com a fórmula de Bháskara. Entretanto, seria um trabalho desnecessário, pois podemos usar as Relações de Girard (Demonstro a que envolve o produto ao fim da resposta):

Se $\mathsf{ax^2 + bx + c}$ apresenta raízes $\mathsf{x_1, \ x_2}$, então podemos dizer que:

$\star ~\boxed{\mathsf{x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a}}}$

Temos uma equação do segundo grau de acordo com o exercício, então podemos dizer que:

$\mathsf{P = \dfrac{c}{a}}\\ \\ \mathsf{P = \dfrac{12034^6-1}{1}}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{P = 12034^6-1}}$

Essa é sua resposta. Se quiser, a demonstração das relações para o caso da equação de segundo grau está abaixo.


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Sejam as definições de equação do segundo grau que dei acima válidas(a ≠ 0) e com raízes x₁ e x₂. Podemos escrever a forma fatorada como:

$\mathsf{ax^2 + bx + c \equiv a(x - x_1)(x - x_2)}$

Se usarmos a propriedade distributiva no segundo membro:

$\mathsf{ax^2 + bx + c \equiv ax^2 -a(x_2 + x_1)x+ax_1x_2}~~~~ (\div \mathsf{a})\\ \\ \mathsf{x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfra{c}{a}\equiv x^2 - (x_2 + x_2)x+ x_1x_2}$

Por Identidade de Polinômios(termos ao quadrado são iguais entre si, os de grau um são iguais, os de grau zero também), segue:

$\mathsf{x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}}\\ \\ \\ \mathsf{x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a}}$

q.e.d.


Bons estudos :)