Question

Determine o primeiro termo e o número de termos de uma P.A em que: na=18, r=2 e Sn=88.

Answer 1

Oi Rute,

vamos pela fórmula do termo geral, com os dados acima..

$a_n=a_1+(n-1)r\\\\ 18=a_1+(n-1)\cdot2\\ a_1+2n-2=18\\ a_1+2n=20\\\\ a_1=20-2n~~(i)$

Agora vamos pela soma dos termos de uma P.A., sabendo-se que a soma vale 88..

$\text{S}_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\ \dfrac{(a_1+18)\cdot n}{2}=88\\\\ (a_1+18)\cdot n=88\cdot2\\\\ (a_1+18)\cdot n=176\\\\ a_1+18= \dfrac{176}{n}\\\\ a_1= \dfrac{176}{n} -18~~(ii)$

Feito isso, podemos comparar a1 da equação i, com a1 da equação ii, veja..

$a_1=a_1:\\\\ 20-2n= \dfrac{176}{n}-18\\\\ (multiplica~os~inteiros~pelo~denominador~n)\\\\ n\cdot(20-2n)=176-18\cdot n\\ 20n-2n^2=176-18n\\ 2n^2-20n-18n+176=0\\ 2n^2-38n+176=0\\\\ (divide~toda~eq.~por~2)\\\\ n^2-19n+88=0$

Agora é só resolver esta equação de 2° grau..

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-19)^2-4\cdot1\cdot88\\ \Delta=361-352\\ \Delta=9\\\\ n= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-19)\pm \sqrt{9} }{2\cdot1} = \dfrac{19\pm3}{2}\begin{cases}n_1=8\\ n_2=11\end{cases}$

Temos dois resultados para o número de termos, portanto..

Quando n=8, o primeiro termo vale..

$a_1=20-2n\\ a_1=20-2\cdot8\\ a_1=20-16\\\\ \Large\boxed{a_1=4}$


Quando n=11, então a1 é igual..

$a_1=20-2\cdot11\\ a_1=20-22\\\\ \Large\boxed{a_1=-2}$


BJK ^^