Question

determine o ponto p no eixo das ordenadas equidistantes dos pontos A(1,2) e B(3,8)

Answer 1

$\text{Vou chamar o ponto equidistante de A e B de P = (x, y)}\\\\d(A,P)=d(B,P)\\\sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2} = \sqrt{(3-x)^2+(8-y)^2}\\(1-x)^2+(2-y)^2 = (3-x)^2+(8-y)^2\\1-2x+x^2+4-4y+y^2 = 9-6x+x^2+64-16y+y^2\\1-2x+4-4y = 9-6x+64-16y\\-2x + 6x - 4y + 16y + 1 + 4 - 9 - 64 = 0\\4x + 12y - 68 = 0$

Com isso, todos os pontos que equidistam de A e B pertencem a reta 4x + 12y - 68 = 0 (Observação: estamos no R², logo isso resulta em uma reta; caso estivéssemos no R³, o resultado seria um plano)

Agora, precisamos saber o ponto P nos eixos das ordenadas, para isso podemos colocar x = 0

$\displaystyle 4x + 12y - 68 = 0\\4\cdot 0 + 12y - 68 = 0\\12y - 68 = 0\\12y = 68\\\\y = \frac{68}{12} = \frac{17}{3}$

Com isso, o ponto P pertencente ao eixo das ordenadas que equidista de A e B é P = (0, 17/3)