Question

Determine o polinômio P(X) do 2° grau, sabendo que P(7) = 0, P(- 1)= 17 e P(0) = 7. calcule então o valor da expressão Y= 2P(-3) + P(5)

Answer 1

Vamos calcular o polinômio utilizando o método de Lagrange.

$\\ P_{2}(x) = L_{o} (xo)F(xo) + L_{1} (x1)F(x1)+ L_{2} (x2)F(x2)$

Onde,

xo = 7,  f(xo) = 0

x1 = -1 , f(x1) = 17

x2 = 0 ,  f(x2) = 7
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$\\ = L_{o} (xo).0 + L_{1} (x1).17+ L_{2} (x2).7 \\ \\ = 17 L_{1} (x1)+7 L_{2} (x2) \\ \\ = 17. \frac{(x-x2)(x-xo)}{(x1-xo)(x1-x2)} + 7. \frac{(x-xo)(x-x1)}{(x2-x1)(x2-xo)} \\ \\ = 17. \frac{(x-0)(x-7)}{(-1-7)(-1-0)} + 7. \frac{(x-7)(x-(-1))}{(0-(-1))(0-7)} \\ \\ = 17. \frac{x(x-7)}{8} +7. \frac{(x-7)(x+1)}{-7} \\ \\ = 17. \frac{(x^2-7x)}{8} -(x-7)(x+1) \\ \\ = \frac{17x^2}{8} - \frac{119x}{8} -(x^2+x-7x-7) \\ \\ = \frac{9x^2}{8} - \frac{71x}{8} +7$

Logo,


$\\ Y = 2P(-3) + P(5) \\ \\ = 2.( \frac{9(-3)^2}{8} - \frac{71.(-3)}{8} +7) +(\frac{9.(5)^2}{8} - \frac{71.(5)}{8} +7) \\ \\ = 2.( \frac{81}{8} + \frac{213}{8} +7)+( \frac{225}{8} - \frac{355}{8} +7) \\ \\ = \frac{162}{8} + \frac{426}{8} +14+ \frac{225}{8} - \frac{355}{8} +7 \\ \\ = \frac{162+426+225-355}{8} +21 \\ \\ = \frac{229}{4} +21 \\ \\ = \frac{229+4(21)}{4} \\ \\ = \frac{313}{4}$