determine o polinômio P(x) do 2 grau sabendo que P(-1)=12 P(0)= 6 e 2 e um raiz
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Podemos fatorar um polinômio do segundo grau da seguinte forma:
a(x - x1)(x - x2), onde x1 e x2 são as raízes e a é o coeficiente ângular.
Como nesse caso as raízes são 6 e 2:
p(x) = a(x - 6)(x - 2) agora note que quando x = -1, y =12, substituindo para achar o vamos de a:
12 = a(-1 -6)(-1 - 2)
12 = a(-7)(-3)
12 = a(-21)
a = 12/-21 <<< simplifica por -3:
a = -4/7
Voltando:
p(x) = a(x - 6)(x - 2)
p(x) = (-4/7)(x - 6)(x - 2) faça a distributiva:
p(x) = (-4/7)(x² - 6x - 2x + 12)
p(x) = (-4/7)(x² - 8x + 12)
p(x) = -4x²/7 + 32x/7 - 48/7 ou:
p(x) = (-4/7)x² + (32/7)x - 48/7
Bons estudos
a(x - x1)(x - x2), onde x1 e x2 são as raízes e a é o coeficiente ângular.
Como nesse caso as raízes são 6 e 2:
p(x) = a(x - 6)(x - 2) agora note que quando x = -1, y =12, substituindo para achar o vamos de a:
12 = a(-1 -6)(-1 - 2)
12 = a(-7)(-3)
12 = a(-21)
a = 12/-21 <<< simplifica por -3:
a = -4/7
Voltando:
p(x) = a(x - 6)(x - 2)
p(x) = (-4/7)(x - 6)(x - 2) faça a distributiva:
p(x) = (-4/7)(x² - 6x - 2x + 12)
p(x) = (-4/7)(x² - 8x + 12)
p(x) = -4x²/7 + 32x/7 - 48/7 ou:
p(x) = (-4/7)x² + (32/7)x - 48/7
Bons estudos
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Vou assumir inicialmente que você sabe que podemos representar qualquer polinômio de grau 2 da forma onde x' é uma raiz e x'' a outra raiz.
Agora, como sabemos o valor de uma raiz, podemos expandir isso e depois jogar o valor que temos para a função em um dado x. Segue-se que:
Como sabemos do enunciado que uma raiz x' = 2 e o valor do polinômio em x = 0 é 6, vamos simplificar nosso polinômio genérico e ver o que sobra:
Agora, para achar o coeficiente , só precisamos achar a outra raiz e nosso problema estará concluído. Para isso, vamos voltar a forma genérica do nosso polinômio, substituir todos os valores que conhecemos, mas agora com uma informação nova, que em x = -1, nosso polinômio tem valor 12:
Já que x' = 2 e os termos com x'' em cima e embaixo cancelam-se.
Resolvendo isso, ficamos com:
Sabemos da nossa demonstração para o polinômio pedido no enunciado que e portanto, . Pronto! Agora basta escrever o polinômio da forma convencional:
Portanto, nosso polinômio é:
Agora, como sabemos o valor de uma raiz, podemos expandir isso e depois jogar o valor que temos para a função em um dado x. Segue-se que:
Como sabemos do enunciado que uma raiz x' = 2 e o valor do polinômio em x = 0 é 6, vamos simplificar nosso polinômio genérico e ver o que sobra:
Agora, para achar o coeficiente , só precisamos achar a outra raiz e nosso problema estará concluído. Para isso, vamos voltar a forma genérica do nosso polinômio, substituir todos os valores que conhecemos, mas agora com uma informação nova, que em x = -1, nosso polinômio tem valor 12:
Já que x' = 2 e os termos com x'' em cima e embaixo cancelam-se.
Resolvendo isso, ficamos com:
Sabemos da nossa demonstração para o polinômio pedido no enunciado que e portanto, . Pronto! Agora basta escrever o polinômio da forma convencional:
Portanto, nosso polinômio é:
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