Matemática, perguntado por ruansbarze5, 1 ano atrás

determine o polinômio P(x) do 2 grau sabendo que P(-1)=12 P(0)= 6 e 2 e um raiz

Soluções para a tarefa

Respondido por TC2514
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Podemos fatorar um polinômio do segundo grau da seguinte forma:
a(x - x1)(x - x2), onde x1 e x2 são as raízes e a é o coeficiente ângular.

Como nesse caso as raízes são 6 e 2:

p(x) = a(x - 6)(x - 2)                  agora note que quando x = -1, y =12,                                                                   substituindo para achar o vamos de a:
12 = a(-1 -6)(-1 - 2)
12 = a(-7)(-3)
12 = a(-21)
a = 12/-21 <<< simplifica por -3:
a = -4/7

Voltando:
p(x) = a(x - 6)(x - 2)
p(x) = (-4/7)(x - 6)(x - 2)              faça a distributiva:
p(x) = (-4/7)(x² - 6x - 2x + 12)
p(x) = (-4/7)(x² - 8x + 12)
p(x) = -4x²/7 + 32x/7 - 48/7   ou:
p(x) = (-4/7)x² + (32/7)x - 48/7

Bons estudos
Respondido por Victorfds
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Vou assumir inicialmente que você sabe que podemos representar qualquer polinômio de grau 2 da forma a(x-x')(x-x'') onde x' é uma raiz e x'' a outra raiz.
Agora, como sabemos o valor de uma raiz, podemos expandir isso e depois jogar o valor que temos para a função em um dado x. Segue-se que:
a(x-x')(x-x'') = f(x)
(ax-ax')(x-x'') = f(x)
ax^2 -axx'' -axx' + ax'x'' = f(x)
Como sabemos do enunciado que uma raiz x' = 2 e o valor do polinômio em x = 0 é 6, vamos simplificar nosso polinômio genérico e ver o que sobra:

a0^2 -a0x'' -a0*2 +a2x'' = f(0) = 6
2ax'' = 6
a =  \frac{3}{x''}
Agora, para achar o coeficiente a, só precisamos achar a outra raiz e nosso problema estará concluído. Para isso, vamos voltar a forma genérica do nosso polinômio, substituir todos os valores que conhecemos, mas agora com uma informação nova, que em x = -1, nosso polinômio tem valor 12:
ax^2 -axx'' -axx' + ax'x'' = f(x)
 \frac{3}{x''} x^2 - \frac{3}{x''} xx'' - \frac{3}{x''} xx' +  \frac{3}{x''} x'x'' = f(x)
 \frac{3}{x''} x^2 - 3x - \frac{6}{x''} x +  6 = f(x)
Já que x' = 2 e os termos com x'' em cima e embaixo cancelam-se.
\frac{3}{x''} (-1)^2 - 3(-1) - \frac{6}{x''} (-1) + 6 = f(-1) = 12
Resolvendo isso, ficamos com:
\frac{3}{x''}  +3 +\frac{6}{x''}  + 6 = 12
\frac{9}{x''}  = 3
x'' = 3
Sabemos da nossa demonstração para o polinômio pedido no enunciado que a =  \frac{3}{x''} e portanto, a = 1. Pronto! Agora basta escrever o polinômio da forma convencional:
a(x - x')(x-x'') = f(x)
1(x-2)(x-3) = f(x)
x^2 -3x -2x +6 = f(x)
Portanto, nosso polinômio é:
f(x) = x^2 -5x + 6






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