Question

Determine o poligono convexo cuja a soma dos angulos internos é igual ao numero de diagonais multiplicado por 90?

Answer 1

A soma dos ângulos internos é dada por:

S = 180 * (n - 2)

Já o número de diagonais é dado por:

D = n * (n - 3) / 2

Como a soma dos ângulos internos é 90 vezes o número de diagonais, temos que:

S = 90 * D
180 * (n - 2) = 90 * (n * (n - 3) / 2)
(180 / 90 ) * (n - 2) = (n² - 3n) / 2
2 * (n - 2) = (n² - 3n) / 2
4 * (n - 2) = n² - 3n
4n - 8 = n² - 3n
0 = n² - 3n - 4n - 8
n² - 7n - 8 = 0

a = 1
b = -7
c = -8

Δ = b² - 4ac
Δ = (-7)² - 4 * 1 * (-8)
Δ = 49 + 32
Δ = 81

n' = (-b + √Δ) / 2a
n' = (-(-7) + √81) / (2 * 1)
n' = (7 + 9) / 2
n' = 16 / 2
n' = 8

n'' = (-b - √Δ) / 2a
n'' = (-(-7) - √81) / (2 * 1)
n'' = (7 - 9) / 2
n'' = (-2) / 2
n'' = -1

Como a quantidade de lados não pode ser negativa, temos que o polígono procurado possui 8 lado, ou seja, é um octágono.