Matemática, perguntado por mariaeduarda01227, 6 meses atrás

Determine o período e a imagem da seguinte função y = 3 + 2 cosx.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

A função cosseno: y = 3 + 2 · cos (x) tem período igual a 2π e imagem no intervalo real [1 , 5].

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Considerações

Período

Podemos afirmar que as funções trigonométricas são periódicas, pois se você analisar o gráfico de uma função elementar f(x) = cos (x), vai notar que a cada 2π sua curva (chamada de senoide) faz as mesmas ''ondas'' atingindo o valor máximo e o valor mínimo. Portanto, essa repetição sucessiva é o período da função cosseno (também vale para a função seno). Assim, considerando que a função cosseno se situa na forma f(x) = p · cos (qx + r) + s para encontrar o seu período sabendo que ele ocorre para cada 2π, podemos aplicar a relação P = 2π/|q|. Para você entender o motivo de dividir pelo coeficiente q, veja que se aplicarmos a fórmula com base na função elementar teremos P = 2π/|q| = 2π/|1| = 2π/1 = 2π, mas numa função com um valor diferente para q, o período também será diferente justamente por causa do seu valor.

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Imagem

A imagem corresponde ao conjunto de valores que f(x) admite para quaisquer valores de x, e tomando novamente a função f(x) = cos (x) como base sabemos que esses valores se encontram no intervalo real [– 1 , 1], pois como vimos anteriormente a senoide faz as ondas entre o máximo 1 e o mínimo – 1, logo – 1 ≤ cos (x) ≤ 1.

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Voltando à questão

Desejamos determinar o período e a imagem da função abaixo, então identificando seus coeficientes:

$\boldsymbol{\large\begin{array}{c}y=3+2\cdot cos\,(x)\\\\\normalsize\begin{array}{c}\bullet~p=2\\\bullet~q=1\\\bullet~r=0\\\bullet~s=3\end{array}\end{array}}$

Assim, o período dessa função é:

$\boldsymbol{\begin{array}{l}P=\dfrac{2\pi}{|q|}\\\\P=\dfrac{2\pi}{|1|}\\\\P=\dfrac{2\pi}{1}\\\\\!\boxed{P=2\pi}\end{array}}\\\\$

E para determinar a imagem, podemos fazer de duas formas: na primeira forma podemos fazer uma manipulação algébrica em – 1 ≤ cos (x) ≤ 1 a fim de obter a função inicial:

$\boldsymbol{\begin{array}{l}-\,1\leq cos\,(x)\leq1\\\\-\,1\cdot2\leq cos\,(x)\cdot2\leq1\cdot2\\\\-\,2\leq 2\cdot cos\,(x)\leq2\\\\-\,2+3\leq 2\cdot cos\,(x)+3\leq2+3\\\\1\leq3+2\cdot cos\,(x)\leq5\\\\\!\boxed{1\leq y\leq5,~\therefore~Im=\big[1~,5\big]}\end{array}}\\\\$

E na segunda forma podemos usar a fórmula Im = [s – q , s + q]:

$\boldsymbol{\begin{array}{l}Im=\big[s-q~,~s+q\big]\\\\Im=\big[3-2~,~3+2\big]\\\\\!\boxed{Im=\big[1~,~5\big]}\end{array}}\\\\$

R: portanto, o período da função dessa questão é P = 2π, e sua imagem é Im = [1 , 5].

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$