Question

Determine o perímetro e a área dos poligonos abaixo:

Answer 1

a)

Perímetro do retângulo: P = 16√3 cm ☑

Área do retângulo: A = 24 cm² ☑

b)

Perímetro do triângulo: P = 23√5 ☑

Área do triângulo: A = 30 u.a. ☑

________________________________

Determinar o perímetro e a área dos poligonos em anexo.

a)

• Retângulo.

• Perímetro:

É a soma de todos os lados de qualquer polígono. Nesse caso, o retângulo.

Como todo retângulo possui lados // então, se um lado mede x por exemplo, o lado // a x terá a mesma medida x. Sendo válido tanto para base (comprimento) quanto para a altura (largura).

Calculamos o perímetro através da seguinte forma:

$\boxed{\boxed{\sf~P=2\!\,b+2\!\,h}}\bigstar$

onde,

P = perímetro;

b = base ou comprimento;

h = altura ou largura.

Calculando:

$\sf~P=2\cdot\sqrt{48}+2\cdot2\sqrt{12}\\\\\sf~P=2\sqrt{48}+4\sqrt{12}$

Simplificando os radicais:

$\begin{cases}\sf(I)~2\sqrt{48}\Rightarrow2\sqrt{16\cdot3}\Rightarrow2\sqrt{4^{2}\cdot3}\Rightarrow2\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{4^{\diagup\!\!\!\!2}}\cdot\sqrt{3}\Rightarrow2\cdot4\sqrt{3}=\boxed{\sf8\sqrt{3}}~\checkmark\\\\\sf(II)~4\sqrt{12}\Rightarrow4\sqrt{4\cdot3}\Rightarrow4\sqrt{2^2\cdot3}\Rightarrow4\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{2^{\diagup\!\!\!\!2}}\cdot\sqrt{3}\Rightarrow4\cdot2\sqrt{3}=\boxed{\sf8\sqrt{3}}~\checkmark\end{cases}[tex]</p><p></p><p>[tex]\sf~P=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}$

Colocando a √3 que é um termo similar em evidência:

$\sf\sqrt{3}(8+8)\Rightarrow16\sqrt{3}$

Logo, o perímetro será:

$\boxed{\sf16\sqrt{3}~cm}~\checkmark$

• Área:

A área de um retângulo é dada pela seguinte fórmula:

$\boxed{\boxed{A=b\cdot\,\!h~\Rightarrow~A=C\cdot\,\!L}}\bigstar$

onde,

A = área;

b = base ou C = Comprimento;

h = altura ou L = Largura

• Calculando:

$\sf~A=\sqrt{48}\cdot\sqrt{12}$

Como o produto das raízes possui o mesmo índice, então basta multiplicarmos os radicandos e com isso, obtemos a área desejada:

$\sf~A=\sqrt{48\cdot12}\\\\\sf~A=\sqrt{576}\Rightarrow\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{24^{\diagup\!\!\!\!2}}=\boxed{\sf24~cm^2}~\checkmark$

b)

• Triângulo qualquer.

• Perímetro:

Como vimos anteriormente, o perímetro é a soma de todos os lados de qualquer polígono.

A ordem das parcelas não altera a soma, logo:

$\sf~P=2\sqrt{45}+3\sqrt{125}+\sqrt{20}$

Vamos simplificar os radicais:

$\begin{cases}\sf(I)~2\sqrt{45}\Rightarrow2\sqrt{9\cdot5}\Rightarrow2\sqrt{3^{2}\cdot5}\Rightarrow2\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{3^{\diagup\!\!\!\!2}}\cdot\sqrt{5}\Rightarrow2\cdot3\sqrt{5}=\boxed{\sf6\sqrt{5}}~\checkmark\\\\\sf(II)~3\sqrt{125}\Rightarrow3\sqrt{5\cdot3}\Rightarrow3\sqrt{5^{2+1}}\Rightarrow\boxed{\sf~a^{m+n}a^m\cdot\,\!a^n}\bigstar\Rightarrow\\\\\Rightarrow\sf3\sqrt{5^{2}+5^1}\Rightarrow3\sqrt{5^2}\cdot\sqrt{5}\Rightarrow3\cdot5\sqrt{5}=\boxed{\sf15\sqrt{5}}~\checkmark\\\\\sf(III)~\sqrt{20}\Rightarrow\sqrt{4\cdot5}\Rightarrow\sqrt{2^2\cdot5}\Rightarrow\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{2^{\diagup\!\!\!\!2}}\cdot\sqrt{5}=\boxed{\sf2\sqrt{5}}~\checkmark\end{cases}$

• Continuando...

$\sf~P=6\sqrt{5}+15\sqrt{5}+2\sqrt{5}$

Vamos colocar a √5 em evidência, pois é um termo similar:

$\sf\sqrt{5}(6+15+2)=23\sqrt{5}$

Logo, o perímetro será:

$\boxed{\sf~P=23\sqrt{5}}~\checkmark$

• Área do triângulo

A área de um triângulo qualquer é dada pela seguinte fórmula:

$\boxed{\boxed{A=\frac{b\cdot\,\!h}{2}}}\bigstar$

onde,

A = área;

b = base;

h = altura.

• Calculando:

$\sf~A=\frac{\diagup\!\!\!\!2\sqrt{45}\cdot\sqrt{20}}{\diagup\!\!\!\!2}\\\\\sf~A=\sqrt{45}\cdot\sqrt{20}$

O produto de raízes com o mesmo índice é igual à raiz do produto, sendo assim, teremos a área almejada:

$\sf~A=\sqrt{45\cdot20}\\\\\sf~A=\sqrt{900}\Rightarrow\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{30^{\diagup\!\!\!\!2}}=\boxed{\sf30~u.a.}~\checkmark$

✨ $\Large\mathscr{\blue{Per:~Dan}}$ ✨