Question

Determine o perímetro do triângulo ABC, sendo dados med(AB) = 2cm, med (AC) = √3cm e seno ( BÂC) = √6/6

Answer 1

O perímetro é igual a $2p=2 + \sqrt{3}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}$ cm.

Sabemos que o perímetro é igual a soma de todos os lados.

Então, para calcular o perímetro do triângulo ABC precisamos calcular a medida do lado BC.

Observe que é nos dado o valor do seno do ângulo BAC. Então, utilizando a relação fundamental da trigonometria, vamos calcular o valor do cosseno desse ângulo:

$(\frac{\sqrt{6}}{6})^2+cos^2(BAC)=1$

$\frac{6}{36}+cos^2(BAC)=1$

$cos^2(BAC)=1-\frac{6}{36}$

$cos^2(BAC)=\frac{30}{36}$

$cos(BAC)=\frac{\sqrt{30}}{6}$.

Para calcular a medida do segmento BC, vamos utilizar a lei dos cossenos:

BC² = 2² + (√3)² - 2.2.√3.cos(BAC)

$BC^2=4+3-4\sqrt{3}.\frac{\sqrt{30}}{6}$

$BC^2=7-\frac{2\sqrt{90}}{3}$

$BC^2=7-\2sqrt{10}$

$BC=\sqrt{7-2\sqrt{10}}$.

Portanto, o perímetro do triângulo ABC é igual a:

$2p=2 + \sqrt{3}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}$ cm.