Question

Determine o parâmetro "m" na equação x^2 + mx + (m^2 - m - 12) = 0, de modo que ela tenha uma raiz nula e outra positiva

Answer 1

Se uma raiz é nula, o produto das raízes será nulo.

P = c / a = (m² - m - 12)/1 = 0 ----> m² - m - 12 = 0

Dois números cuja soma vale 1 e produto -12?

Os números são 4 e -3

Raízes ----> m = 4 ou m = -3

Se preferir, resolva pela fórmula de Bháskara.

Como uma raiz é nula, a soma das raízes é igual a outra raiz e, portanto, se garantirmos que a soma das raízes é positiva, garantimos que a outra raiz será positiva.

Primeiro caso: m = 4

S = - 4 / 1 = - 4 (Soma negativa)

Segundo caso:

m = -3

S = - (-3) / 1 = 3 (Soma positiva)

Logo, m = 4 não convém.

Desse modo, m = -3

Answer 2

Olá Pedro!

No geral, definimos uma equação de grau dois da seguinte maneira:

$\mathbf{ax^2 + bx + c = 0, \ a \neq 0}$

Ademais, sabemos que uma equação do segundo grau tem uma raiz nula quando o seu termo independente é zero, isto é, quando está sob a forma

$\mathbf{ax^2 + bx = 0, \ a\neq 0}$

Isto posto, de acordo com o enunciado, fazemos:

$\mathsf{ax^2 + \underbrace{\mathsf{m}}_{< 0} x + \underbrace{\mathsf{(m^2 - m - 12)}}_{nulo} = 0}$

Daí,

$\\ \mathsf{m^2 - m - 12 = 0} \\\\ \mathsf{m^2 - 4m + 3m - 12 = 0} \\\\ \mathsf{m(m - 4) + 3(m - 4) = 0} \\\\ \mathsf{(m - 4) \cdot [m + 3] = 0} \\\\ \mathsf{(m - 4)(m + 3) = 0} \\\\ \mathsf{S = \left \{ - 3, 4 \right \}}$

No entanto, como $\mathsf{m < 0}$, temos que, $\boxed{\mathsf{m = - 3}}$.