Question

Determine o número z em cada caso:
a) 3Z + 4i = Z - 6i (elevado a 20)
b) 3Z i= Z+i 

Answer 1

Olá, GPB.

$a)\ 3z + 4i = z - 6i^{20}\\\\ \text{Como }i^{20}=\underbrace{i^2\times...\times i^2}_{10\ vezes}=\underbrace{(-1)\times(-1)\times...(-1)\times (-1)}_{10\ vezes}=\\ \underbrace{(+1)\times...\times (+1)}_{5\ vezes}=1\\\\\\ 3z+4i=z-6\cdot 1 \Rightarrow 2z=-6-4i \Rightarrow z=\frac12(-6-4i) \Rightarrow\\\\ \boxed{z=-3-2i}$

$b)\ 3z i = z+i \Rightarrow 3zi-z=i \Rightarrow z(3i-1)=i \Rightarrow z=\frac{i}{3i-1} \Rightarrow \\\\ z=\frac{i(3i+1)}{(3i-1)(3i+1)}=\frac{3i^2+i}{9i^2-1}=\frac{3(-1)+i}{9(-1)-1}=\frac{-3+i}{-10} \Rightarrow \boxed{z=\frac3{10}-\frac{1}{10}i}$

Answer 2

Para encontrar o número Z em cada caso, devemos isolá-lo em um dos membros da equação e depois calcular a potência relacionada a este número.

a) Isolando Z, temos:

3Z - Z = -6i²⁰ - 4i

2Z = -6i²⁰ - 4i

Z = -3i²⁰ - 2i

Das potências dos números complexos, temos que:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

Podemos escrever i²⁰ como (i⁵)⁴ que pode ser simplificado como ((i³.i²)²)², substituindo os valores, temos:

Z = -3(((i³.i²)²)²) - 2i

Z = -3(((-i.-1)²)²) - 2i

Z = -3(i²)² - 2i

Z = -3(-1)² - 2i

Z = -3 - 2i

b) Isolando Z:

3Zi - Z = i

Z(3i - 1) = i

Z = i/(3i - 1)

Multiplicando pelo conjugado:

Z = i(-3i - 1)/(3i - 1)(-3i - 1)

Z = (-3i² - i)/(-9i² + 1)

Z = (3 - i)/10

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